题目

5.单选题设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自正态总体N(mu,sigma^2)的简单随机样本，样本均值为overline(X)，样本方差为S^2，则统计量(overline(X)-mu)/(S/sqrt(n))服从的分布是A 标准正态分布B 卡方分布C t分布D F分布

5.单选题 设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的简单随机样本，样本均值为$\overline{X}$，样本方差为$S^{2}$，则统计量$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$服从的分布是 A 标准正态分布 B 卡方分布 C t分布 D F分布

题目解答

答案

根据题目，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本，样本均值为 $\overline{X}$，样本方差为 $S^2$。我们需要判断统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 服从的分布。

  1. 理解已知条件：

    • 样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
    • 样本方差 $S^2$ 与总体方差 $\sigma^2$ 的关系为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
    • 统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。

  2. 分析统计量：
    将原式 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 转换为：
    $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} = \frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\frac{S}{\sigma}}$
    分子 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$，分母 $\frac{S}{\sigma} = \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{(n-1)\sigma^2}}$，而 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。

  3. 应用 t 分布定义：
    根据 t 分布的定义，若 $Z \sim N(0,1)$，$U \sim \chi^2(k)$，且 $Z$ 与 $U$ 独立，则 $\frac{Z}{\sqrt{U/k}} \sim t(k)$。
    在本题中，$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，$U = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，$k = n-1$。
    因此，
    $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} = \frac{Z}{\sqrt{U/(n-1)}} \sim t(n-1)$
    这表明该统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。

  4. 结论：
    统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 服从 t 分布。

答案：C. t 分布