题目

8. (6.0分) 设随机变量X的分布函数为F(x)，下列结论中不一定成立的是（） A. F(+∞)=1 B. F(-∞)=0 C. 0≤F(x)≤1 D. F(x)为连续函数

8. (6.0分) 设随机变量X的分布函数为F(x)，下列结论中不一定成立的是（）
A. F(+∞)=1
B. F(-∞)=0
C. 0≤F(x)≤1
D. F(x)为连续函数

题目解答

答案

分布函数 $F(x)$ 的性质如下： 1. $F(+\infty) = 1$，表示随机变量取值小于或等于正无穷的概率为1，一定成立。 2. $F(-\infty) = 0$，表示随机变量取值小于或等于负无穷的概率为0，一定成立。 3. $0 \leq F(x) \leq 1$，表示概率值范围在0到1之间，一定成立。 4. $F(x)$ 为连续函数，对于连续型随机变量成立，但离散型随机变量的分布函数为阶梯函数，不连续，不一定成立。 **答案：** $\boxed{D}$

解析

分布函数是概率论中描述随机变量的重要工具，其核心性质包括：

  1. 单调不减性：随着$x$增大，$F(x)$不减小；
  2. 归一性：$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$，$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$；
  3. 有界性：$0 \leq F(x) \leq 1$；
  4. 右连续性：$F(x)$在任意点右连续。

关键点在于区分连续型随机变量与离散型随机变量的差异。连续型随机变量的分布函数是连续函数，但离散型随机变量的分布函数在跳跃点处不连续。因此，选项D的连续性不一定成立。

选项分析

A. $F(+\infty) = 1$

归一性要求当$x$趋近于正无穷时，概率累积为1，一定成立。

B. $F(-\infty) = 0$

归一性要求当$x$趋近于负无穷时，概率累积为0，一定成立。

C. $0 \leq F(x) \leq 1$

分布函数表示概率的累积，概率值必然在0到1之间，一定成立。

D. $F(x)$为连续函数

  • 连续型随机变量（如正态分布）的分布函数是连续函数；
  • 离散型随机变量（如二项分布）的分布函数在跳跃点处不连续；
  • 因此，不一定成立。