题目

一批产品的不合品率0.02,现从中任取30件进行检验,若发现两件或两件以上不合格品,就拒收这批产品。分别用以下方式求拒收的概率。(1)用二项分布做精确计算; (2)用泊松分布做近似计算。

一批产品的不合品率0.02,现从中任取30件进行检验,若发现两件或两件以上不合格品,就拒收这批产品。分别用以下方式求拒收的概率。

(1)用二项分布做精确计算;

 (2)用泊松分布做近似计算。

题目解答

答案

(1) 使用二项分布做精确计算：

设随机变量 X 表示抽取的30件产品中不合格品的数量。已知不合格品率为，抽取的样本量为。

则 X 服从二项分布 。

我们需要求的是，这可以通过 来计算。

其中， 是组合数，表示从30件中选k件的方法数。

因此，

具体数值可以通过计算器或编程计算得出。

(2) 使用泊松分布做近似计算：

当 n 很大且 p 很小时，二项分布 可以近似为泊松分布 ，其中。

在这里，，所以。

泊松分布的概率质量函数为：

我们需要求的是 ，这同样可以通过 来计算。

因此，

解析

考查要点：本题主要考查二项分布与泊松分布的应用，以及如何通过近似方法简化计算。

解题思路：

  1. 二项分布：直接计算抽取30件产品中不合格品数X的概率，求$P(X \geq 2)$，即1减去$P(X=0)$和$P(X=1)$。
  2. 泊松分布：当试验次数$n$较大且概率$p$较小时，二项分布可用泊松分布近似（$\lambda = np$），再计算$P(X \geq 2)$。

破题关键：

  • 二项分布公式：$P(X=k) = C_{n}^{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$。
  • 泊松近似条件：$n=30$，$p=0.02$满足“大n小p”，$\lambda = 30 \times 0.02 = 0.6$。
  • 概率转换：$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$。

第（1）题：二项分布精确计算

定义随机变量

设$X$为30件产品中不合格品数，$X \sim B(30, 0.02)$。

计算$P(X \geq 2)$

$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$

具体计算

  1. $P(X=0)$：
    $P(X=0) = C_{30}^{0} \cdot (0.02)^{0} \cdot (0.98)^{30} = (0.98)^{30}$

  2. $P(X=1)$：
    $P(X=1) = C_{30}^{1} \cdot (0.02)^{1} \cdot (0.98)^{29} = 30 \cdot 0.02 \cdot (0.98)^{29}$

最终表达式

$P(X \geq 2) = 1 - (0.98)^{30} - 30 \cdot 0.02 \cdot (0.98)^{29}$

第（2）题：泊松分布近似计算

确定参数

$\lambda = n \cdot p = 30 \cdot 0.02 = 0.6$，$X \sim \text{Poisson}(\lambda=0.6)$。

计算$P(X \geq 2)$

$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$

具体计算

  1. $P(X=0)$：
    $P(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{0}}{0!} = e^{-0.6}$

  2. $P(X=1)$：
    $P(X=1) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{1}}{1!} = 0.6 \cdot e^{-0.6}$

最终表达式

$P(X \geq 2) = 1 - e^{-0.6} - 0.6 \cdot e^{-0.6}$