题目
一批产品的不合品率0.02,现从中任取30件进行检验,若发现两件或两件以上不合格品,就拒收这批产品。分别用以下方式求拒收的概率。(1)用二项分布做精确计算; (2)用泊松分布做近似计算。
一批产品的不合品率0.02,现从中任取30件进行检验,若发现两件或两件以上不合格品,就拒收这批产品。分别用以下方式求拒收的概率。
(1)用二项分布做精确计算;
(2)用泊松分布做近似计算。
题目解答
答案
(1) 使用二项分布做精确计算：
设随机变量 X 表示抽取的30件产品中不合格品的数量。已知不合格品率为
，抽取的样本量为
。
则 X 服从二项分布 
。
我们需要求的是
，这可以通过 
来计算。
其中，
是组合数，表示从30件中选k件的方法数。
因此，
具体数值可以通过计算器或编程计算得出。
(2) 使用泊松分布做近似计算：
当 n 很大且 p 很小时，二项分布 
可以近似为泊松分布 
，其中
。
在这里，
，所以
。
泊松分布的概率质量函数为：
我们需要求的是 ，这同样可以通过 来计算。
因此，
解析
步骤 1：二项分布精确计算
设随机变量 X 表示抽取的30件产品中不合格品的数量。已知不合格品率为 p=0.02，抽取的样本量为 n=30。则 X 服从二项分布 B(30,0.02)。我们需要求的是 P(X≥2)，这可以通过 1-P(X=0)-P(X=1)来计算。
步骤 2：计算 P(X=0) 和 P(X=1)
$P(X=0)={C}_{30}^{0}\times {0.02}^{0}\times {0.98}^{30}={0.98}^{30}$
$P(X=1)={C}_{30}^{1}\times {0.02}^{1}\times {0.98}^{29}=30\times 0.02\times {0.98}^{29}$
步骤 3：泊松分布近似计算
当 n 很大且 p 很小时，二项分布 B(n,p)可以近似为泊松分布 P(λ)，其中 λ=np。在这里，n=30，p=0.02，所以 λ=30×0.02=0.6。泊松分布的概率质量函数为：$P(X=k)=\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$。我们需要求的是 P(X≥2)，这同样可以通过1-P(X=0)-P(X=1) 来计算。
步骤 4：计算 P(X=0) 和 P(X=1) 的泊松分布近似值
$P(X=0)=\dfrac {{0.6}^{0}{e}^{-0.6}}{0!}={e}^{-0.6}$
$P(X=1)=\dfrac {0.6}{1}=\dfrac {0.6}{1!}=0.6{e}^{-0.6}$
设随机变量 X 表示抽取的30件产品中不合格品的数量。已知不合格品率为 p=0.02，抽取的样本量为 n=30。则 X 服从二项分布 B(30,0.02)。我们需要求的是 P(X≥2)，这可以通过 1-P(X=0)-P(X=1)来计算。
步骤 2：计算 P(X=0) 和 P(X=1)
$P(X=0)={C}_{30}^{0}\times {0.02}^{0}\times {0.98}^{30}={0.98}^{30}$
$P(X=1)={C}_{30}^{1}\times {0.02}^{1}\times {0.98}^{29}=30\times 0.02\times {0.98}^{29}$
步骤 3：泊松分布近似计算
当 n 很大且 p 很小时，二项分布 B(n,p)可以近似为泊松分布 P(λ)，其中 λ=np。在这里，n=30，p=0.02，所以 λ=30×0.02=0.6。泊松分布的概率质量函数为：$P(X=k)=\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$。我们需要求的是 P(X≥2)，这同样可以通过1-P(X=0)-P(X=1) 来计算。
步骤 4：计算 P(X=0) 和 P(X=1) 的泊松分布近似值
$P(X=0)=\dfrac {{0.6}^{0}{e}^{-0.6}}{0!}={e}^{-0.6}$
$P(X=1)=\dfrac {0.6}{1}=\dfrac {0.6}{1!}=0.6{e}^{-0.6}$