设总体 X 的分布函数为 F(x)，则总体均值 mu 和方差 sigma^2 的矩估计分别为(）。A. hat(mu)=bar(x)，hat(sigma)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^nx_i^2B. hat(mu)=bar(x)，hat(sigma)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^n(x_i-bar(x))^2C. hat(mu)=bar(x)，hat(sigma)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(x_i-bar(x))^2D. hat(mu)=bar(x)，hat(sigma)^2=sum_(i=1)^n(x_i-bar(x))^2

本题考查总体均值和方差的矩估计量相关知识。

步骤1：回顾矩估计的基本思想

矩估计的核心是用用样本矩估计总体矩。对于总体的一阶原点矩（均值）和二阶中心矩（用于估计方差），具体步骤如下：

• 总体均值μ的矩估计：总体一阶原点矩为 $E(X) =$，样本一阶原点矩为样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，因此 $\hat{\mu} = \bar{x}$，所有选项均满足此点，需进一步判断方差的估计。

• 总体方差σ²的矩估计：总体方差定义为 $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2)]$？不，正确公式为 $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$。
  样本二阶原点矩为 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2$，用其估计 $E(X^2)$，用 $\hat{\mu} = \bar{x}$ 估计 $E(X)$，因此：
  $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2})$
  这正是选项B中的形式。

步骤2：排除错误选项

• 选项A：$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2$ 缺少 $-(\bar{x})^2$，未修正均值，错误
• 选项C：$\frac{1}{n-1}$ 是样本方差的无偏估计，但矩估计中不用 $n-1$，错误
• 选项D：无 $\frac{1n$ 项，不是矩估计量，错误