题目

6.（15.0分）设总体X的概率密度为f(x;beta)=}(beta)/(x^beta+1),&x>10,&xleq1为对应的样本值，求beta的矩估计量和最大似然估计值。

6.（15.0分）设总体X的概率密度为 $f(x;\beta)=\begin{cases}\frac{\beta}{x^{\beta+1}},&x>1\\0,&x\leq1\end{cases}$其中未知参数$\beta>1$。$X_{1},X_{2},\dots,X_{n}$为来自总体的一个样本，$x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$为对应的样本值，求$\beta$的矩估计量和最大似然估计值。

题目解答

答案

**矩估计量：** 计算期望 $E(X) = \int_1^{+\infty} x \cdot \frac{\beta}{x^{\beta+1}} \, dx = \frac{\beta}{\beta-1}$。 令 $E(X) = \overline{X}$，解得 $\beta = \frac{\overline{X}}{\overline{X} - 1}$。 **最大似然估计值：** 似然函数 $L(\beta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\beta}{x_i^{\beta+1}}$，取对数得 $\ln L(\beta) = n \ln \beta - (\beta + 1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$。 求导并令为零，解得 $\beta = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}$。 **答案：** 矩估计量：$\boxed{\frac{\overline{X}}{\overline{X} - 1}}$ 最大似然估计值：$\boxed{\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}}$

解析

考查要点：本题主要考查参数估计中的矩估计法和最大似然估计法的应用，涉及概率密度函数的积分计算、期望的求解以及对数似然函数的求导。

解题核心思路：

  1. 矩估计：通过计算总体期望 $E(X)$，令其等于样本均值 $\overline{X}$，解方程得到 $\beta$ 的表达式。
  2. 最大似然估计：构造似然函数，取对数后对 $\beta$ 求导，令导数为零，解方程得到 $\beta$ 的估计值。

破题关键点：

  • 矩估计的关键是正确计算期望 $E(X)$，注意积分上下限和收敛条件。
  • 最大似然估计需正确构造似然函数并处理对数转换，准确求导并解方程。

矩估计量

计算总体期望 $E(X)$

$E(X) = \int_{1}^{+\infty} x \cdot \frac{\beta}{x^{\beta+1}} \, dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{\beta}{x^{\beta}} \, dx = \beta \int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} \, dx$

积分求解

$\int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} \, dx = \left[ \frac{x^{-(\beta-1)}}{-(\beta-1)} \right]_{1}^{+\infty} = \frac{1}{\beta-1} \quad (\beta > 1)$

因此：
$E(X) = \frac{\beta}{\beta-1}$

建立方程并求解 $\beta$

令 $E(X) = \overline{X}$，即：
$\frac{\beta}{\beta-1} = \overline{X}$
解得：
$\beta = \frac{\overline{X}}{\overline{X} - 1}$

最大似然估计值

构造似然函数

$L(\beta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\beta}{x_i^{\beta+1}} = \beta^n \cdot \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i^{\beta+1}}$

取对数并对 $\beta$ 求导

$\ln L(\beta) = n \ln \beta - (\beta + 1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$
$\frac{d}{d\beta} \ln L(\beta) = \frac{n}{\beta} - \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$

令导数为零并求解 $\beta$

$\frac{n}{\beta} - \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \beta = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}$