3.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点,-|||-那么补充或改变函数的定义使它连续:-|||-(3) =(cos )^2dfrac (1)(x) =0;

考查要点：本题主要考查函数在某点处的间断点类型判断，特别是第二类间断点（振荡间断点）的识别，以及可去间断点的处理方法。

解题核心思路：

1. 判断左右极限是否存在：当$x \to 0$时，$\cos^2\left(\dfrac{1}{x}\right)$的值在$[0,1]$之间无限次振荡，导致左右极限均不存在。
2. 确定间断类型：由于左右极限不存在，属于第二类间断点（振荡型）。
3. 可去间断点的条件：若为第一类间断点且左右极限相等，则可通过定义函数值使其连续。但本题为第二类间断点，无法通过补充定义消除。

破题关键：

• 振荡函数的极限特性：$\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)$在$x \to 0$时的高频振荡导致平方后的函数极限不存在。
• 第二类间断点的判定：极限不存在或为无穷大时，直接判定为第二类间断点。

函数分析

函数$y = \cos^2\left(\dfrac{1}{x}\right)$在$x=0$处无定义，需判断其间断点类型。

步骤1：分析$x \to 0$时的函数行为

当$x \to 0$时，$\dfrac{1}{x}$的绝对值趋于无穷大，$\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)$的值在$[-1,1]$之间无限次振荡。平方后，$\cos^2\left(\dfrac{1}{x}\right)$的值在$[0,1]$之间振荡，且振荡频率无限加快。

步骤2：计算左右极限

• 左极限：当$x \to 0^-$时，$\dfrac{1}{x} \to -\infty$，但$\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)$仍振荡于$[-1,1]$，故$\lim_{x \to 0^-} \cos^2\left(\dfrac{1}{x}\right)$不存在。
• 右极限：当$x \to 0^+$时，$\dfrac{1}{x} \to +\infty$，同理$\lim_{x \to 0^+} \cos^2\left(\dfrac{1}{x}\right)$也不存在。

步骤3：判定间断类型

由于左右极限均不存在，$x=0$为第二类间断点（振荡型）。
关键结论：第二类间断点无法通过补充定义消除，因此无需进一步操作。