2.利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵:-|||-1 3-|||-(1).A= 2 4

本题考查利用矩阵的初等行变换求方阵的逆矩阵。解题思路是通过对增广矩阵$(A|E)$进行初等行变换，将其左半部分$A$化为单位矩阵$E$，此时右半部分就变成了$A$的逆矩阵$A^{-1}$。

下面我们来详细求解矩阵$A = \begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$的逆矩阵：

1. 首先构造增广矩阵$(A|E)$，其中$E$是二阶单位矩阵$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，则增广矩阵为：
   $\begin{pmatrix}1&3&1&0\\2&4&0&1\end{pmatrix}$
2. 然后进行初等行变换：
   • 第二行减去第一行的$2$倍，即$r_2 - 2r_1$，得到：
     $\begin{pmatrix}1&3&1&0\\2 - 2\times1&4 - 2\times3&0 - 2\times1&1 - 2\times0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&1&0\\0&-2&-2&1\end{pmatrix}$
   • 第一行加上第二行的$\frac{3}{2}$倍，即$r_1+\frac{3}{2}r_2$，得到：
     $\begin{pmatrix}1 + \frac{3}{2}\times0&3 + \frac{3}{2}\times(-2)&1 + \frac{3}{2}\times(-2)&0 + \frac{3}{2}\times1\\0&-2&-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-2&\frac{3}{2}\\0&-2&-2&1\end{pmatrix}$
   • 第二行乘以$-\frac{1}{2}$，即$-\frac{1}{2}r_2$，得到：
     $\begin{pmatrix}1&0&-2&\frac{3}{2}\\0\times(-\frac{1}{2})&-2\times(-\frac{1}{2})&-2\times(-\frac{1}{2})&1\times(-\frac{1}{2})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-2&\frac{3}{2}\\0&1&1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

此时增广矩阵的左半部分已化为单位矩阵，右半部分就是$A$的逆矩阵。