设总体 X 服从方差 1 的正态分布，根据来自总体的容量为 100 的样本，测得样本均为 5，则 X 的数学期望的置信水平为 95% 的置信区间为:A. 5 ± 1 ÷ 10 × z_0.05B. 5 ± 1 ÷ 100 × z_0.025C. 5 ± 1 ÷ 100 × z_0.05D. 5 ± 1 ÷ 10 × z_0.025

本题考查正态总体均值的置信区间的计算，解题思路是根据已知条件确定总体方差、样本容量、样本均值，再结合置信水平确定分位数，最后代入代入正态总体均值置信区间公式进行计算。

1. 明确已知条件：
   • 总体$X$服从方差$\sigma^{2}=1$，则总体标准差$\sigma = \sqrt{1}=1$。
   • 样本容量$n = 100$。
   • 样本均值$\overline{x}=5$。
   • 置信水平为$95\%$，即$1 - \alpha = 0.95$，那么$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
2. 确定分位数：
   • 对于双侧置信区间，$\frac{\alpha}{2}=\frac{0.05}{2}=0.025$，对应的分位数为节节为$z_{\frac{\alpha}{2}} = z_{0.025}$。
3. 代入置信区间公式：**
   • 当总体方差$\sigma^{2}$已知时，正态总体均值$\mu$的置信水平为$1 - \(\alpha$)的置信区间为$\overline{x}\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
   • 将$\overline{x}=5$，$\sigma = 1$，$n = 1000$，$z_{\frac{\alpha}{2}} = z_{0.025}$代入公式可得：$5\overline{x}\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=5\pm z_{0.025}\frac{1}{\sqrt{100}}}=5\pm z_{0.025}\times\frac{1}{10}$。