题目
某种灯泡的质量标准是平均使用寿命不低于1000小时。已知灯泡批量产品的使用寿命服从正态分布,且标准差为100小时。商店欲从工厂进货,随机抽取了81只灯泡检查汉得=980小时,令a=0.05,回答下面的问题(1)如果采用假设检验,你打算如何设立原假设和备择假设,并说明其理由(2)按你设立的假设进行检验,帮助商店决定是否购进该批灯泡?[人大2002研]
某种灯泡的质量标准是平均使用寿命不低于1000小时。已知灯泡批量产品的使用寿
命服从正态分布,且标准差为100小时。商店欲从工厂进货,随机抽取了81只灯泡检查
汉得=980小时,令a=0.05,回答下面的问题
(1)如果采用假设检验,你打算如何设立原假设和备择假设,并说明其理由
(2)按你设立的假设进行检验,帮助商店决定是否购进该批灯泡?[人大2002研]
题目解答
答案
解析
步骤 1：设立假设
根据题意，灯泡的平均使用寿命不低于1000小时，因此原假设${H}_{0}$应为灯泡的平均使用寿命不低于1000小时，即${H}_{0}:\mu \geqslant 1000$。而备择假设${H}_{1}$则为灯泡的平均使用寿命低于1000小时，即${H}_{1}:\mu \lt 1000$。这样设立假设的理由是，原假设通常包含等号，而备择假设则表示对原假设的否定。
步骤 2：计算检验统计量
已知灯泡的使用寿命服从正态分布，且标准差为100小时，样本容量为81，样本均值为980小时。因此，检验统计量$Z$的计算公式为$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中$\bar{X}$为样本均值，$\mu$为总体均值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本容量。将已知数值代入公式，得到$Z = \frac{980 - 1000}{100 / \sqrt{81}} = \frac{-20}{100 / 9} = -1.8$。
步骤 3：确定临界值并进行决策
根据题意，显著性水平$\alpha = 0.05$，因此临界值$Z_{\alpha} = -1.645$（单侧检验）。由于计算得到的检验统计量$Z = -1.8$小于临界值$Z_{\alpha} = -1.645$，因此拒绝原假设${H}_{0}$，接受备择假设${H}_{1}$，即认为灯泡的平均使用寿命低于1000小时。
根据题意，灯泡的平均使用寿命不低于1000小时，因此原假设${H}_{0}$应为灯泡的平均使用寿命不低于1000小时，即${H}_{0}:\mu \geqslant 1000$。而备择假设${H}_{1}$则为灯泡的平均使用寿命低于1000小时，即${H}_{1}:\mu \lt 1000$。这样设立假设的理由是，原假设通常包含等号，而备择假设则表示对原假设的否定。
步骤 2：计算检验统计量
已知灯泡的使用寿命服从正态分布，且标准差为100小时，样本容量为81，样本均值为980小时。因此，检验统计量$Z$的计算公式为$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中$\bar{X}$为样本均值，$\mu$为总体均值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本容量。将已知数值代入公式，得到$Z = \frac{980 - 1000}{100 / \sqrt{81}} = \frac{-20}{100 / 9} = -1.8$。
步骤 3：确定临界值并进行决策
根据题意，显著性水平$\alpha = 0.05$，因此临界值$Z_{\alpha} = -1.645$（单侧检验）。由于计算得到的检验统计量$Z = -1.8$小于临界值$Z_{\alpha} = -1.645$，因此拒绝原假设${H}_{0}$，接受备择假设${H}_{1}$，即认为灯泡的平均使用寿命低于1000小时。