题目

设连续型随机变量X的分布函数为F(x)= cases (0, &x< 1 lnx, &1le x< e 1, &x ge e.)则P(0< X< 3)= (). A. 1B. 0.5C. ln 1.25D. 1 n 2

$$ 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)= \cases {0, &x< 1\ \ lnx, &1\le x< e 1, &x \ge e.}则P(0< X< 3)= (). $$

  • A. 1
  • B. 0.5
  • C. ln 1.25
  • D. 1 n 2

题目解答

答案

A

解析

本题考查连续型随机变量分布函数的性质及利用分布函数计算概率。解题思路是根据连续型随机变量分布函数的性质，对于连续型随机变量$X$，$P(a < X < b)=F(b) - F(a)$，其中$F(x)$是随机变量$X$的分布函数，$a$和$b$是给定的实数。我们需要根据已知的分布函数$F(x)$，分别确定$F(3)$和$F(0)$的值，然后代入公式计算$P(0 < X < 3)$。

  1. 首先，确定$F(3)$的值：
    已知分布函数$F(x)=\begin{cases}0, & x < 1\\\ln x, & 1\leq x < e\\1, & x\geq e\end{cases}$，因为$3\geq e$，所以将$x = 3$代入$F(x)$中$x\geq e$对应的表达式，可得$F(3)=1$。
  2. 然后，确定$F(0)$的值：
    因为$0 < 1$，所以将$x = 0$代入$F(x)$中$x < 1$对应的表达式，可得$F(0)=0$。
  3. 最后，计算$P(0 < X < 3)$：
    根据连续型随机变量分布函数的性质$P(0 < X < 3)=F(3) - F(0)$，将$F(3)=1$和$F(0)=0$代入可得：
    $P(0 < X < 3)=1 - 0 = 1$