题目

(1) int_(0)^1 ln (1+x^2)dx=____.

(1) $\int_{0}^{1} \ln (1+x^{2})dx=$____.

题目解答

答案

令 $ u = \ln(1+x^2) $，$ dv = dx $，则 $ du = \frac{2x}{1+x^2}dx $，$ v = x $。
应用分部积分法：
$\int_{0}^{1} \ln(1+x^2) \, dx = \left[ x \ln(1+x^2) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{1+x^2} \, dx$
计算第一项：
$\left[ x \ln(1+x^2) \right]_{0}^{1} = \ln 2$
第二项化简为：
$\int_{0}^{1} \frac{2x^2}{1+x^2} \, dx = \int_{0}^{1} \left( 2 - \frac{2}{1+x^2} \right) \, dx = 2 - \frac{\pi}{2}$
因此，原积分等于：
$\ln 2 - \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right) = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$
答案： $\boxed{\ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}}$

解析

本题考查定积分的计算，解题思路是利用分部积分法来求解给定的定积分。分部积分法的公式为$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v = [uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$。

  1. 使用分部积分法：
    • 令$u = \ln(1 + x^{2})$，对$u$求导，根据复合函数求导法则$(\ln f(x))^\prime=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$，这里$f(x)=1 + x^{2}$，$f^\prime(x)=2x$，所以$\mathrm{d}u=\frac{2x}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x$。
    • 令$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$，对$\mathrm{d}v$积分可得$v = x$。
    • 根据分部积分公式$\int_{0}^{1}\ln(1 + x^{2})\mathrm{d}x=[x\ln(1 + x^{2})]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x\cdot\frac{2x}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x$，即$\int_{0}^{1}\ln(1 + x^{2})\mathrm{d}x=[x\ln(1 + x^{2})]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x$。
  2. 计算$[x\ln(1 + x^{2})]_{0}^{1}$：
    • 根据牛顿 - 莱布尼茨公式$[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$，这里$F(x)=x\ln(1 + x^{2})$，则$[x\ln(1 + x^{2})]_{0}^{1}=1\times\ln(1 + 1^{2})-0\times\ln(1 + 0^{2})=\ln2$。
  3. 计算$\int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x$：
    • 对被积函数$\frac{2x^{2}}{1 + x^{2}}$进行变形，$\frac{2x^{2}}{1 + x^{2}}=\frac{2x^{2}+2 - 2}{1 + x^{2}}=\frac{2(x^{2}+1)-2}{1 + x^{2}}=2-\frac{2}{1 + x^{2}}$。
    • 所以$\int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}(2-\frac{2}{1 + x^{2}})\mathrm{d}x$。
    • 根据积分的可加性$\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x-\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$，则$\int_{0}^{1}(2-\frac{2}{1 + x^{2}})\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}2\mathrm{d}x-\int_{0}^{1}\frac{2}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x$。
    • 对于$\int_{0}^{1}2\mathrm{d}x$，根据积分公式$\int k\mathrm{d}x=kx + C$（$k$为常数），可得$\int_{0}^{1}2\mathrm{d}x=[2x]_{0}^{1}=2\times1 - 2\times0 = 2$。
    • 对于$\int_{0}^{1}\frac{2}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x$，根据积分公式$\int\frac{1}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x=\arctan x + C$，可得$\int_{0}^{1}\frac{2}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x=2[\arctan x]_{0}^{1}=2(\arctan1-\arctan0)$。
    • 因为$\arctan1=\frac{\pi}{4}$，$\arctan0 = 0$，所以$2(\arctan1-\arctan0)=2\times(\frac{\pi}{4}-0)=\frac{\pi}{2}$。
    • 则$\int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x=2-\frac{\pi}{2}$。
  4. 计算原积分的值：
    • 将$[x\ln(1 + x^{2})]_{0}^{1}=\ln2$和$\int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x=2-\frac{\pi}{2}$代入$\int_{0}^{1}\ln(1 + x^{2})\mathrm{d}x=[x\ln(1 + x^{2})]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x$，可得$\int_{0}^{1}\ln(1 + x^{2})\mathrm{d}x=\ln2-(2 - \frac{\pi}{2})=\ln2 - 2+\frac{\pi}{2}$。