【判断题】随机变量的分布函数在任意一点都是右连续的 .

分布函数的右连续性是概率论中的基本性质。分布函数定义为$F(x) = P(X \leq x)$，其右连续性来源于概率测度的性质。关键点在于：当$x$从右侧无限接近某点$x_0$时，事件$\{X \leq x\}$会逐渐包含$x_0$附近的所有右侧邻域，而右侧邻域的概率趋于$0$，从而保证$\lim_{h \to 0^+} F(x_0 + h) = F(x_0)$。无论是连续型还是离散型随机变量，这一性质均成立。

分布函数的右连续性证明思路：

1. 定义右极限：对任意固定$x_0$，考虑$x_n = x_0 + \frac{1}{n}$（$n=1,2,\dots$），则$x_n \downarrow x_0$。
2. 单调性：由于$x_n$递减，$\{X \leq x_n\}$递减，且$\bigcap_{n} \{X \leq x_n\} = \{X \leq x_0\}$。
3. 连续性从上：根据概率的连续性定理，$\lim_{n \to \infty} P(X \leq x_n) = P\left(\bigcap_{n} \{X \leq x_n\}\right) = P(X \leq x_0)$。
4. 结论：即$\lim_{h \to 0^+} F(x_0 + h) = F(x_0)$，说明分布函数右连续。

离散型与连续型的验证：

• 离散型：若$x_0$是孤立点，则右侧邻域无其他质点，$F(x_0 + h) = F(x_0)$。
• 连续型：概率密度在$x_0$右侧邻域的积分趋于$0$，故$F(x_0 + h) \to F(x_0)$。