题目
一定体积流量的流体在粗糙圆形直管内的流动处于完全湍流状态,当流经长度和管径都增加一倍时,流体流经管路的阻力为原来的( )倍。A 1 B dfrac (1)(2) C dfrac (1)(2)D dfrac (1)(2)
一定体积流量的流体在粗糙圆形直管内的流动处于完全湍流状态,当流经长度和管径都增加一倍时,流体流经管路的阻力为原来的( )倍。
A 1
B 
C 
D 
题目解答
答案
根据范宁公式
，其中
为沿程阻力损失，
为摩擦系数（对于完全湍流粗糙管，只与相对粗糙度有关，管径d和长度l变化时，不变），l为管长，d为管径，u为流速。
由体积流量
，可得
。
原来的阻力
，当管径
，管长
时，新的流速
。
新的阻力
。
计算
：
。
。
所以
。
答案是D。
解析
步骤 1：确定范宁公式
范宁公式为${h}_{f}=\lambda \dfrac {l}{d}\dfrac {{u}^{2}}{2}$，其中${h}_{f}$为沿程阻力损失，$\lambda$为摩擦系数（对于完全湍流粗糙管，只与相对粗糙度有关，管径d和长度l变化时，$\lambda$不变），l为管长，d为管径，u为流速。
步骤 2：确定体积流量与流速的关系
体积流量$V=uA=u\dfrac {\pi {d}^{2}}{4}$，可得$u=\dfrac {4V}{\pi {d}^{2}}$。
步骤 3：计算原始阻力
原来的阻力${h}_{f1}=\lambda \dfrac {{l}_{1}}{{d}_{1}}\dfrac {{{u}_{1}}^{2}}{2}$，当管径${d}_{2}=2{d}_{1}$，管长${l}_{2}=2{l}_{1}$时，新的流速${u}_{2}=\dfrac {4V}{\pi {{d}_{2}}^{2}}=\dfrac {4V}{\pi {(2{d}_{1})}^{2}}=\dfrac {1}{4}\dfrac {4V}{\pi {d}_{1}^{2}}=\dfrac {1}{4}{u}_{1}$。
步骤 4：计算新的阻力
新的阻力${h}_{f2}=\lambda \dfrac {{l}_{2}}{{d}_{2}}\dfrac {{{u}_{2}}^{2}}{2}=\lambda \dfrac {2{l}_{1}}{2{d}_{1}}\dfrac {{(\dfrac {1}{4}{u}_{1})}^{2}}{2}=\lambda \dfrac {{l}_{1}}{{d}_{1}}\dfrac {{(\dfrac {1}{4}{u}_{1})}^{2}}{2}$。
步骤 5：计算阻力比
$\dfrac {{h}_{f2}}{{h}_{f1}}=\dfrac {\lambda \dfrac {{l}_{1}}{{d}_{1}}\dfrac {{(\dfrac {1}{4}{u}_{1})}^{2}}{2}}{\lambda \dfrac {{l}_{1}}{{d}_{1}}\dfrac {{{u}_{1}}^{2}}{2}}=\dfrac {{(\dfrac {1}{4}{u}_{1})}^{2}}{{{u}_{1}}^{2}}=\dfrac {1}{16}$。
范宁公式为${h}_{f}=\lambda \dfrac {l}{d}\dfrac {{u}^{2}}{2}$，其中${h}_{f}$为沿程阻力损失，$\lambda$为摩擦系数（对于完全湍流粗糙管，只与相对粗糙度有关，管径d和长度l变化时，$\lambda$不变），l为管长，d为管径，u为流速。
步骤 2：确定体积流量与流速的关系
体积流量$V=uA=u\dfrac {\pi {d}^{2}}{4}$，可得$u=\dfrac {4V}{\pi {d}^{2}}$。
步骤 3：计算原始阻力
原来的阻力${h}_{f1}=\lambda \dfrac {{l}_{1}}{{d}_{1}}\dfrac {{{u}_{1}}^{2}}{2}$，当管径${d}_{2}=2{d}_{1}$，管长${l}_{2}=2{l}_{1}$时，新的流速${u}_{2}=\dfrac {4V}{\pi {{d}_{2}}^{2}}=\dfrac {4V}{\pi {(2{d}_{1})}^{2}}=\dfrac {1}{4}\dfrac {4V}{\pi {d}_{1}^{2}}=\dfrac {1}{4}{u}_{1}$。
步骤 4：计算新的阻力
新的阻力${h}_{f2}=\lambda \dfrac {{l}_{2}}{{d}_{2}}\dfrac {{{u}_{2}}^{2}}{2}=\lambda \dfrac {2{l}_{1}}{2{d}_{1}}\dfrac {{(\dfrac {1}{4}{u}_{1})}^{2}}{2}=\lambda \dfrac {{l}_{1}}{{d}_{1}}\dfrac {{(\dfrac {1}{4}{u}_{1})}^{2}}{2}$。
步骤 5：计算阻力比
$\dfrac {{h}_{f2}}{{h}_{f1}}=\dfrac {\lambda \dfrac {{l}_{1}}{{d}_{1}}\dfrac {{(\dfrac {1}{4}{u}_{1})}^{2}}{2}}{\lambda \dfrac {{l}_{1}}{{d}_{1}}\dfrac {{{u}_{1}}^{2}}{2}}=\dfrac {{(\dfrac {1}{4}{u}_{1})}^{2}}{{{u}_{1}}^{2}}=\dfrac {1}{16}$。