2.(2018,Ⅲ)设X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 2) 为来自总体 (mu ,(sigma )^2)(sigma gt 0) 的-|||-简单随机样本,令 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(1) =sqrt (dfrac {1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2} ,-|||-'=sqrt (dfrac {1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-mu )}^2} ,则( ).-|||-(A) dfrac (sqrt {n)(overline (X)-mu )}(S)sim t(n) (B) dfrac (sqrt {n)(overline (X)-mu )}(S)sim t(n-1)-|||-(C) dfrac (sqrt {n)(overline (X)-mu )}(S)sim t(n) (D) dfrac (sqrt {n)(overline (X)-mu )}(S)sim t(n-1)

考查要点：本题主要考查t分布的构造条件及样本均值与样本方差的独立性。

解题核心思路：

1. 标准化样本均值：由正态总体性质，样本均值$\overline{X}$服从正态分布，标准化后服从标准正态分布。
2. 样本方差的卡方分布：$(n-1)S^2/\sigma^2$服从自由度为$n-1$的卡方分布。
3. 独立性：样本均值$\overline{X}$与样本方差$S^2$相互独立。
4. 构造t分布：将标准化后的正态变量与卡方变量组合，得到自由度为$n-1$的t分布。

破题关键点：

• 分子标准化：$\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)/\sigma \sim N(0,1)$。
• 分母构造：$S$是样本标准差，其平方与卡方分布相关，需体现自由度$n-1$。
• 自由度匹配：t分布的自由度由分母的卡方分布自由度决定，即$n-1$。

步骤1：标准化样本均值

由正态总体性质，$\overline{X} \sim N\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化得：
$\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma} \sim N(0,1).$

步骤2：分析样本方差的分布

样本方差$S^2$的定义为：
$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2,$
因此：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1).$

步骤3：构造t分布

将标准化后的正态变量与卡方变量组合：
$\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S} = \frac{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{n-1}}} \sim t(n-1).$
其中，分子服从$N(0,1)$，分母为$\sqrt{\chi^2(n-1)/(n-1)}$，符合t分布的定义。

步骤4：排除干扰项

• 选项A、C的自由度为$n$，错误。
• 选项D的表达式与B相同，但需确认题目选项是否区分其他差异（本题中B为正确选项）。