设方程 xy - e^x + e^y = 0 确定了隐函数 y = y(x)，求 y'(0) = ( )A. 2B. -1C. 0D. 1

本题考查隐函数求导的知识点。解题思路是先对给定的方程两边同时关于$x$求导，然后解出$y'$的表达式，再求出$x = 0$时$y$的值，最后将$x = 0$和对应的$y$值代入$y'$的表达式中，从而得到$y'(0)$的值。

步骤一：对给定方程两边关于$x$求导

已知方程$xy - e^{x} + e^{y} = 0$，根据求导的四则运算法则和复合函数求导法则进行求导。

• 对于$xy$，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = x$，$v = y$，所以$(xy)^\prime = y + xy'$。
• 对于$-e^{x}$，其导数为$-e^{x}$。
• 对于$e^{y}$，因为$y$是关于$x$的函数，所以根据复合函数求导法则，令$u = y$，则$(e^{y})^\prime = e^{y} \cdot y'$。

方程两边求导后得到：$y + xy' - e^{x} + e^{y} \cdot y' = 0$。

步骤二：解出$y'$的表达式

将含有$y'$的项移到等式一边，其他项移到等式另一边，得到：$xy' + e^{y} \cdot y' = e^{x} - y$。
提取公因式$y'$可得：$y'(x + e^{y}) = e^{x} - y$。
两边同时除以$(x + e^{y})$，解得$y' = \frac{e^{x} - y}{x + e^{y}}$。

步骤三：求出$x = 0$时$y$的值

将$x = 0$代入原方程$xy - e^{x} + e^{y} = 0$，得到$0\times y - e^{0} + e^{y} = 0$，即$-1 + e^{y} = 0$。
移项可得$e^{y} = 1$，因为$e^{0} = 1$，所以$y = 0$。

步骤四：将$x = 0$和$y = 0$代入$y'$的表达式中，求出$y'(0)$的值

把$x = 0$，$y = 0$代入$y' = \frac{e^{x} - y}{x + e^{y}}$，可得$y'(0) = \frac{e^{0} - 0}{0 + e^{0}} = \frac{1 - 0}{0 + 1} = 1$。