题目

已知总体 X sim N(1, 3^2)，(X_1, X_2, ..., X_(36)) 为取自 X 的样本，overline(X) 为样本均值，求 P1 leq overline{X) leq 2}。

已知总体 $X \sim N(1, 3^2)$，$(X_1, X_2, \cdots, X_{36})$ 为取自 $X$ 的样本，$\overline{X}$ 为样本均值，求 $P\{1 \leq \overline{X} \leq 2\}$。

题目解答

答案

已知总体 $X \sim N(1, 3^2)$，样本大小 $n = 36$，样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N(1, \frac{9}{36}) = N(1, \frac{1}{4})$。将 $\bar{X}$ 标准化得 $Z = 2(\bar{X} - 1)$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。求 $P\{1 \leq \bar{X} \leq 2\}$，等价于 $P\{0 \leq Z \leq 2\}$。由标准正态分布表得 $P\{Z \leq 2\} \approx 0.9772$，$P\{Z \leq 0\} = 0.5$，故 $P\{0 \leq Z \leq 2\} = 0.9772 - 0.5 = 0.4772$。 **答案：** $\boxed{0.4772}$