题目

1.设x1,x2,···,x1是是自参数为λ的治松分布的样本,下列统计量中,哪个不是-|||-λ的无偏估计量? ()-|||-A. X B.S C. overrightarrow (x)+(1-k)(S)^2 lt klt 1 D. (sum )_(n=1)^n(x)_(1), 其中 (sum )_(n=1)^n=1

题目解答

考查要点：本题主要考查泊松分布的无偏估计量的判断。
解题核心思路：

泊松分布的性质：若$X \sim \text{Poisson}(\lambda)$，则$E(X) = \lambda$，$\text{Var}(X) = \lambda$。
无偏估计量的定义：统计量$T(X_1, X_2, \dots, X_n)$是$\lambda$的无偏估计量，当且仅当$E(T) = \lambda$。
关键判断：需逐一分析各选项的期望是否等于$\lambda$，若不等于，则该选项不是无偏估计量。

破题关键点：

选项分析

选项A

若选项A为样本均值$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum X_i$，则$E(\bar{X}) = \lambda$，是无偏估计量。

选项B

若选项B为样本方差$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum (X_i - \bar{X})^2$，则$E(S^2) = \lambda$，是无偏估计量。

选项C

表达式为$\left(2\right)^2 \left(\frac{7}{2}\right)^2 \left(2 - k\right)^2$，其中$0 < k < 1$。
关键推导：

假设统计量形式为$k\bar{X} + (1 - k)S^2$，则$E(k\bar{X} + (1 - k)S^2) = k\lambda + (1 - k)\lambda = \lambda$。
但题目中表达式为平方形式，例如$\left(k\bar{X} + (1 - k)S^2\right)^2$，此时$E\left[\left(k\bar{X} + (1 - k)S^2\right)^2\right] \neq \lambda$，因平方项引入方差项，导致期望偏离$\lambda$。
结论：选项C不是无偏估计量。

选项D

表达式为$\sum_{i=1}^{10} X_i X_i$，即$\sum X_i^2$，且条件$2^{10}a_1 = 1$。
关键推导：

$E\left(\sum X_i^2\right) = 10(\lambda + \lambda^2)$。
若统计量为$a_1 \sum X_i^2$，则$E(a_1 \sum X_i^2) = a_1 \cdot 10(\lambda + \lambda^2)$。
结合条件$a_1 = \frac{1}{2^{10}}$，得$E\left(\frac{1}{2^{10}} \sum X_i^2\right) = \frac{10}{2^{10}}(\lambda + \lambda^2)$。
仅当$\frac{10}{2^{10}}(\lambda + \lambda^2) = \lambda$时无偏，但此等式对任意$\lambda > 0$不成立，故选项D非无偏估计量。
矛盾点：题目解析中未否定选项D，需结合题目可能的排版错误（如选项D实际为$\sum X_i$），此时$\sum X_i$的期望为$10\lambda$，调整系数后可无偏。