题目
2.设总体X的概率密度函数为 (x;theta )= {x)^dfrac (1-theta {theta )}, 0lt xlt 1 0, ,X2,···,Xn是-|||-来自总体X的样本,x1,x2,···,xn是样本值,求θ的极大似然估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出似然函数
似然函数是概率密度函数在给定样本值时的乘积，即
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)$
步骤 2：代入概率密度函数
将给定的概率密度函数代入似然函数中，得到
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} x_i^{\frac{1-\theta}{\theta}}$
步骤 3：对似然函数取对数
为了简化计算，对似然函数取对数，得到对数似然函数
$\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{1}{\theta} x_i^{\frac{1-\theta}{\theta}} \right)$
步骤 4：对对数似然函数求导
对对数似然函数关于 $\theta$ 求导，得到
$\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = -\frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^{n} \frac{1-\theta}{\theta^2} \ln x_i$
步骤 5：令导数等于0，求解 $\theta$
令导数等于0，得到
$-\frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^{n} \frac{1-\theta}{\theta^2} \ln x_i = 0$
解得
$\hat{\theta} = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$
似然函数是概率密度函数在给定样本值时的乘积，即
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)$
步骤 2：代入概率密度函数
将给定的概率密度函数代入似然函数中，得到
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} x_i^{\frac{1-\theta}{\theta}}$
步骤 3：对似然函数取对数
为了简化计算，对似然函数取对数，得到对数似然函数
$\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{1}{\theta} x_i^{\frac{1-\theta}{\theta}} \right)$
步骤 4：对对数似然函数求导
对对数似然函数关于 $\theta$ 求导，得到
$\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = -\frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^{n} \frac{1-\theta}{\theta^2} \ln x_i$
步骤 5：令导数等于0，求解 $\theta$
令导数等于0，得到
$-\frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^{n} \frac{1-\theta}{\theta^2} \ln x_i = 0$
解得
$\hat{\theta} = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$