lim _(narrow infty )(n)^2((e)^dfrac (1{n)}-(e)^dfrac (1{n+1)})

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数的展开和无穷小量的比较。关键在于将复杂的指数差转化为可处理的形式，利用泰勒展开或等价无穷小替换进行简化。

解题核心思路：
当$n \to \infty$时，$\dfrac{1}{n}$和$\dfrac{1}{n+1}$均趋近于$0$。此时，可以对$e^{\dfrac{1}{n}}$和$e^{\dfrac{1}{n+1}}$进行泰勒展开，保留足够多的项，使得它们的差在乘以$n^2$后能求出极限。关键点在于展开到二阶或更高阶，以捕捉到非零的主部。

步骤1：变量替换
令$h = \dfrac{1}{n}$，则当$n \to \infty$时，$h \to 0$。原式可转化为：
$\lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - e^{\frac{h}{1+h}}}{h^2}$

步骤2：泰勒展开
将$\dfrac{h}{1+h}$展开为泰勒级数：
$\frac{h}{1+h} = h - h^2 + h^3 - h^4 + \cdots$
进一步展开$e^{\frac{h}{1+h}}$：
$e^{\frac{h}{1+h}} = 1 + \left(h - h^2 + h^3\right) + \frac{1}{2}\left(h - h^2\right)^2 + \frac{1}{6}\left(h\right)^3 + \cdots$
化简后得：
$e^{\frac{h}{1+h}} \approx 1 + h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{6} + \cdots$

步骤3：计算差值
计算$e^{h} - e^{\frac{h}{1+h}}$：
$\begin{aligned}e^{h} - e^{\frac{h}{1+h}} &\approx \left(1 + h + \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{6}\right) - \left(1 + h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{6}\right) \\&= h^2 + \cdots\end{aligned}$

步骤4：代入极限表达式
将差值代入原式：
$\lim_{h \to 0} \frac{h^2 + \cdots}{h^2} = 1$