题目
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．((P（B|A）))/((P（overline{B)|A）)}与((P（B|overline{A)）})/((P（overline{B)|overline{A)）}}的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（1）证明：R=((P（A|B）))/((P（overline{A)|B）)}•((P（overline{A)|overline(B)）})/((P（A|overline{B)）)}；（2）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|overline(B)）及R的估计值．
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．$\frac{{P（B|A）}}{{P（\overline{B}|A）}}$与$\frac{{P（B|\overline{A}）}}{{P（\overline{B}|\overline{A}）}}$的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（1）证明：$R=\frac{{P（A|B）}}{{P（\overline{A}|B）}}•\frac{{P（\overline{A}|\overline{B}）}}{{P（A|\overline{B}）}}$；
（2）利用该调查数据，给出$P（A|B），P（A|\overline{B}）$及R的估计值．
| 不够良好 | 良好 | |
| 病例组 | 40 | 60 |
| 对照组 | 10 | 90 |
（1）证明：$R=\frac{{P（A|B）}}{{P（\overline{A}|B）}}•\frac{{P（\overline{A}|\overline{B}）}}{{P（A|\overline{B}）}}$；
（2）利用该调查数据，给出$P（A|B），P（A|\overline{B}）$及R的估计值．
题目解答
答案
解：（1）证明：P（B|A）=$\frac{P（BA）}{P（A）}$，P（$\overline{B}|A$）=$\frac{P（\overline{B}A）}{P（A）}$，
P（B|$\overline{A}$）=$\frac{P（B\overline{A}）}{P（\overline{A}）}$，P（$\overline{B}|\overline{A}$）=$\frac{P（\overline{B}\overline{A}）}{P（\overline{A}）}$，
∴R=$\frac{P（B|A）}{P（\overline{B}|A）}$=$\frac{\frac{P（BA）}{P（A）}}{\frac{P（\overline{B}A）}{P（A）}}$÷$\frac{\frac{P（B\overline{A}）}{P（\overline{A}）}}{\frac{P（\overline{B}\overline{A}）}{P（\overline{A}）}}$=$\frac{P（BA）}{P（\overline{B}A）}•\frac{P（\overline{B}\overline{A}）}{P（B\overline{A}）}$，
∴$\frac{P（A|B）}{P（\overline{A}|B）}•\frac{P（\overline{A}|\overline{B}）}{P（A|\overline{B}）}$=$\frac{\frac{P（AB）}{P（B）}}{\frac{P（\overline{A}B）}{P（B）}}$•$\frac{\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{B}）}}{\frac{P（A\overline{B}）}{P（\overline{A}）}}$=$\frac{P（AB）}{P（\overline{A}B）}•\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（A\overline{B}）}$=$\frac{P（BA）}{P（\overline{B}A）}•\frac{P（\overline{B}\overline{A}）}{P（B\overline{A}）}$，
∴$R=\frac{{P（A|B）}}{{P（\overline{A}|B）}}•\frac{{P（\overline{A}|\overline{B}）}}{{P（A|\overline{B}）}}$；
（2）∵P（A|B）=$\frac{P（AB）}{P（B）}$=$\frac{40}{100}$=$\frac{2}{5}$，
P（$\overline{A}|B$）=$\frac{P（\overline{A}B）}{P（B）}$=$\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$，
P（$\overline{A}|\overline{B}$）=$\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{B}）}$=$\frac{90}{100}=\frac{9}{10}$，
P（A|$\overline{B}$）=$\frac{P（A\overline{B}）}{P（\overline{B}）}$=$\frac{10}{100}$=$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{P（A|B）}{P（\overline{A}|B）}•\frac{P（\overline{A}|\overline{B}）}{P（A|\overline{B}）}$=$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}×\frac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{10}}$=6，
∴R=$\frac{P（A|B）}{P（\overline{A}|B）}•\frac{P（\overline{A}|\overline{B}）}{P（A|\overline{B}）}$=6．
P（B|$\overline{A}$）=$\frac{P（B\overline{A}）}{P（\overline{A}）}$，P（$\overline{B}|\overline{A}$）=$\frac{P（\overline{B}\overline{A}）}{P（\overline{A}）}$，
∴R=$\frac{P（B|A）}{P（\overline{B}|A）}$=$\frac{\frac{P（BA）}{P（A）}}{\frac{P（\overline{B}A）}{P（A）}}$÷$\frac{\frac{P（B\overline{A}）}{P（\overline{A}）}}{\frac{P（\overline{B}\overline{A}）}{P（\overline{A}）}}$=$\frac{P（BA）}{P（\overline{B}A）}•\frac{P（\overline{B}\overline{A}）}{P（B\overline{A}）}$，
∴$\frac{P（A|B）}{P（\overline{A}|B）}•\frac{P（\overline{A}|\overline{B}）}{P（A|\overline{B}）}$=$\frac{\frac{P（AB）}{P（B）}}{\frac{P（\overline{A}B）}{P（B）}}$•$\frac{\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{B}）}}{\frac{P（A\overline{B}）}{P（\overline{A}）}}$=$\frac{P（AB）}{P（\overline{A}B）}•\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（A\overline{B}）}$=$\frac{P（BA）}{P（\overline{B}A）}•\frac{P（\overline{B}\overline{A}）}{P（B\overline{A}）}$，
∴$R=\frac{{P（A|B）}}{{P（\overline{A}|B）}}•\frac{{P（\overline{A}|\overline{B}）}}{{P（A|\overline{B}）}}$；
（2）∵P（A|B）=$\frac{P（AB）}{P（B）}$=$\frac{40}{100}$=$\frac{2}{5}$，
P（$\overline{A}|B$）=$\frac{P（\overline{A}B）}{P（B）}$=$\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$，
P（$\overline{A}|\overline{B}$）=$\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{B}）}$=$\frac{90}{100}=\frac{9}{10}$，
P（A|$\overline{B}$）=$\frac{P（A\overline{B}）}{P（\overline{B}）}$=$\frac{10}{100}$=$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{P（A|B）}{P（\overline{A}|B）}•\frac{P（\overline{A}|\overline{B}）}{P（A|\overline{B}）}$=$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}×\frac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{10}}$=6，
∴R=$\frac{P（A|B）}{P（\overline{A}|B）}•\frac{P（\overline{A}|\overline{B}）}{P（A|\overline{B}）}$=6．
解析
步骤 1：定义条件概率
根据条件概率的定义，我们有：
$P(B|A) = \frac{P(BA)}{P(A)}$，$P(\overline{B}|A) = \frac{P(\overline{B}A)}{P(A)}$，
$P(B|\overline{A}) = \frac{P(B\overline{A})}{P(\overline{A})}$，$P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{P(\overline{B}\overline{A})}{P(\overline{A})}$。
步骤 2：计算R的表达式
根据题意，$R = \frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)} \div \frac{P(B|\overline{A})}{P(\overline{B}|\overline{A})}$，
代入条件概率的定义，我们得到：
$R = \frac{\frac{P(BA)}{P(A)}}{\frac{P(\overline{B}A)}{P(A)}} \div \frac{\frac{P(B\overline{A})}{P(\overline{A})}}{\frac{P(\overline{B}\overline{A})}{P(\overline{A})}}$，
化简得到：
$R = \frac{P(BA)}{P(\overline{B}A)} \cdot \frac{P(\overline{B}\overline{A})}{P(B\overline{A})}$。
步骤 3：证明等价关系
根据条件概率的定义，我们有：
$\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})} = \frac{\frac{P(AB)}{P(B)}}{\frac{P(\overline{A}B)}{P(B)}} \cdot \frac{\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}}{\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}}$，
化简得到：
$\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})} = \frac{P(AB)}{P(\overline{A}B)} \cdot \frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(A\overline{B})}$，
由于$P(AB) = P(BA)$，$P(\overline{A}B) = P(\overline{B}A)$，$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{B}\overline{A})$，$P(A\overline{B}) = P(B\overline{A})$，所以：
$\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})} = \frac{P(BA)}{P(\overline{B}A)} \cdot \frac{P(\overline{B}\overline{A})}{P(B\overline{A})}$，
因此，$R = \frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}$。
根据条件概率的定义，我们有：
$P(B|A) = \frac{P(BA)}{P(A)}$，$P(\overline{B}|A) = \frac{P(\overline{B}A)}{P(A)}$，
$P(B|\overline{A}) = \frac{P(B\overline{A})}{P(\overline{A})}$，$P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{P(\overline{B}\overline{A})}{P(\overline{A})}$。
步骤 2：计算R的表达式
根据题意，$R = \frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)} \div \frac{P(B|\overline{A})}{P(\overline{B}|\overline{A})}$，
代入条件概率的定义，我们得到：
$R = \frac{\frac{P(BA)}{P(A)}}{\frac{P(\overline{B}A)}{P(A)}} \div \frac{\frac{P(B\overline{A})}{P(\overline{A})}}{\frac{P(\overline{B}\overline{A})}{P(\overline{A})}}$，
化简得到：
$R = \frac{P(BA)}{P(\overline{B}A)} \cdot \frac{P(\overline{B}\overline{A})}{P(B\overline{A})}$。
步骤 3：证明等价关系
根据条件概率的定义，我们有：
$\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})} = \frac{\frac{P(AB)}{P(B)}}{\frac{P(\overline{A}B)}{P(B)}} \cdot \frac{\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}}{\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}}$，
化简得到：
$\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})} = \frac{P(AB)}{P(\overline{A}B)} \cdot \frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(A\overline{B})}$，
由于$P(AB) = P(BA)$，$P(\overline{A}B) = P(\overline{B}A)$，$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{B}\overline{A})$，$P(A\overline{B}) = P(B\overline{A})$，所以：
$\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})} = \frac{P(BA)}{P(\overline{B}A)} \cdot \frac{P(\overline{B}\overline{A})}{P(B\overline{A})}$，
因此，$R = \frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}$。