例4 求向量组(I )-|||-1 2 0 2 5-|||--2 -5 1 -1 -8-|||-a1= _(2)= a3= a4= _(5)=-|||-0 -3 3 4 1-|||-3 6 o -7 2 J-|||-的秩,并求出它的一个极大无关组.

步骤 1：构造矩阵
构造一个矩阵A，其列向量为向量组(I)中的向量。矩阵A如下：
$$
A = \left [ \begin{matrix} 1& 2& 0& 2& 3\\ -2& -5& 1& -1& -8\\ 0& -5& 3& 4& 1\\ 3& 6& 0& -7& 2\end{matrix} ] \right.
$$
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵A进行初等行变换，使其化为阶梯形矩阵。具体步骤如下：
$$
A = \left [ \begin{matrix} 1& 2& 0& 2& 3\\ -2& -5& 1& -1& -8\\ 0& -5& 3& 4& 1\\ 3& 6& 0& -7& 2\end{matrix} ] \right.
$$
$$
2r_1 + r_2 \rightarrow r_2
$$
$$
-3r_2 + r_4 \rightarrow r_4
$$
$$
-3r_2 + r_3 \rightarrow r_3
$$
$$
B = \left [ \begin{matrix} 1& 2& 0& 2& 3\\ 0& 1& 1& 3& 2\\ 0& 0& 0& -5& -5\\ 0& 0& 0& -13& -13\end{matrix} ] \right.
$$
步骤 3：确定矩阵的秩
矩阵B已经是阶梯形矩阵，其非零行的首非零元所在的列为第1,2,4列，因此矩阵A的秩为3，即向量组(I)的秩为3。
步骤 4：确定极大无关组
根据矩阵B的非零行的首非零元所在的列，可以确定向量组(I)的一个极大无关组为a1, a2, a4。