题目
设随机变量X_1,...,X_n相互独立，且X_i都服从参数为0.5的指数分布，则当n充分大时，随机变量Z_n=(1)/(n)sum_(i=1)^n X_i近似服从A. N(2n,4n)B. N(2,(4)/(n))C. N(2,4)D. N((1)/(2),(4)/(n))
设随机变量$X_1,\cdots,X_n$相互独立，且$X_i$都服从参数为0.5的指数分布，则当$n$充分大时，随机变量$Z_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$近似服从
A. $N(2n,4n)$
B. $N(2,\frac{4}{n})$
C. $N(2,4)$
D. $N(\frac{1}{2},\frac{4}{n})$
题目解答
答案
B. $N(2,\frac{4}{n})$
解析
步骤 1：确定$X_i$的均值和方差
由于$X_i$服从参数为0.5的指数分布，其均值$E(X_i) = \frac{1}{0.5} = 2$，方差$D(X_i) = \frac{1}{0.5^2} = 4$。
步骤 2：计算$S_n$的均值和方差
令$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$，则$E(S_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = 2n$，$D(S_n) = \sum_{i=1}^n D(X_i) = 4n$。
步骤 3：计算$Z_n$的均值和方差
定义$Z_n = \frac{1}{n}S_n$，则$E(Z_n) = \frac{1}{n}E(S_n) = 2$，$D(Z_n) = \frac{1}{n^2}D(S_n) = \frac{4}{n}$。
步骤 4：应用中心极限定理
由中心极限定理，当$n$充分大时，$Z_n$近似服从正态分布$N\left(2, \frac{4}{n}\right)$。
由于$X_i$服从参数为0.5的指数分布，其均值$E(X_i) = \frac{1}{0.5} = 2$，方差$D(X_i) = \frac{1}{0.5^2} = 4$。
步骤 2：计算$S_n$的均值和方差
令$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$，则$E(S_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = 2n$，$D(S_n) = \sum_{i=1}^n D(X_i) = 4n$。
步骤 3：计算$Z_n$的均值和方差
定义$Z_n = \frac{1}{n}S_n$，则$E(Z_n) = \frac{1}{n}E(S_n) = 2$，$D(Z_n) = \frac{1}{n^2}D(S_n) = \frac{4}{n}$。
步骤 4：应用中心极限定理
由中心极限定理，当$n$充分大时，$Z_n$近似服从正态分布$N\left(2, \frac{4}{n}\right)$。