题目
设总体 X 的分布函数为 F(x)，则总体均值 mu 和方差 sigma^2 的矩估计分别为（）A. hat(mu) = overline(x), hat(sigma)^2 = (1)/(n) sum_(i=1)^n x_i^2B. hat(mu) = overline(x), hat(sigma)^2 = (1)/(n) sum_(i=1)^n (x_i - overline(x))^2C. hat(mu) = overline(x), hat(sigma)^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (x_i - overline(x))^2D. hat(mu) = overline(x), hat(sigma)^2 = sum_(i=1)^n (x_i - overline(x))^2
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，则总体均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 的矩估计分别为（）
A. $\hat{\mu} = \overline{x}$, $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2$
B. $\hat{\mu} = \overline{x}$, $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$
C. $\hat{\mu} = \overline{x}$, $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$
D. $\hat{\mu} = \overline{x}$, $\hat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$
题目解答
答案
B. $\hat{\mu} = \overline{x}$, $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$
解析
步骤 1：总体均值 $\mu$ 的矩估计
总体均值 $\mu$ 的矩估计量为样本均值 $\overline{x}$，即： \[ \hat{\mu} = \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \] 这是因为样本均值是总体均值的无偏估计量，且在矩估计法中，总体的 $k$ 阶矩用样本的 $k$ 阶矩来估计。
步骤 2：总体方差 $\sigma^2$ 的矩估计
总体方差 $\sigma^2$ 的矩估计量为样本方差，但不除以 $n-1$，而是除以 $n$，即： \[ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \] 这是因为在矩估计法中，总体的 $k$ 阶中心矩用样本的 $k$ 阶中心矩来估计，而样本方差的无偏估计量是除以 $n-1$，但在矩估计法中，我们使用的是矩估计量，而不是无偏估计量。
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，总体均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 的矩估计分别为： \[ \hat{\mu} = \overline{x}, \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \] 选项中，只有 B 符合上述公式，其他选项要么方差公式错误（如除以 $n-1$ 或无平方项），要么均值公式错误。
总体均值 $\mu$ 的矩估计量为样本均值 $\overline{x}$，即： \[ \hat{\mu} = \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \] 这是因为样本均值是总体均值的无偏估计量，且在矩估计法中，总体的 $k$ 阶矩用样本的 $k$ 阶矩来估计。
步骤 2：总体方差 $\sigma^2$ 的矩估计
总体方差 $\sigma^2$ 的矩估计量为样本方差，但不除以 $n-1$，而是除以 $n$，即： \[ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \] 这是因为在矩估计法中，总体的 $k$ 阶中心矩用样本的 $k$ 阶中心矩来估计，而样本方差的无偏估计量是除以 $n-1$，但在矩估计法中，我们使用的是矩估计量，而不是无偏估计量。
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，总体均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 的矩估计分别为： \[ \hat{\mu} = \overline{x}, \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \] 选项中，只有 B 符合上述公式，其他选项要么方差公式错误（如除以 $n-1$ 或无平方项），要么均值公式错误。