题目
(10分)设从正态分布变量X采用了 n = 31个相互独立的观察值,算得样本均值X=58.61及方差X=58.61, 求随机变量X的方差的90%的置信区间.(X=58.61,X=58.61 ,X=58.61)
(10分)设从正态分布变量X采用了 n = 31个相互独立的观察值,算得样本均值
及方差
, 求随机变量X的方差的90%的置信区间.
及方差, 求随机变量X的方差的90%的置信区间.(
,
,
)
, ,)题目解答
答案
解 随 机 变 量 X的方 差 的 90%的 置 信 区 间
.解析
步骤 1：确定置信区间的公式
置信区间公式为：$\left(\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)}, \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}\right)$，其中$n$为样本量，$s^2$为样本方差，$\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$和$\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$分别为自由度为$n-1$的卡方分布的分位数。
步骤 2：代入已知数据
已知$n=31$，$s^2=(5.8)^2$，$\chi^2_{0.05}(30)=43.77$，$\chi^2_{0.95}(30)=18.49$。代入公式得：$\left(\dfrac{30\times(5.8)^2}{43.77}, \dfrac{30\times(5.8)^2}{18.49}\right)$。
步骤 3：计算置信区间
计算得：$\left(\dfrac{30\times(5.8)^2}{43.77}, \dfrac{30\times(5.8)^2}{18.49}\right) = (23.06, 54.58)$。
置信区间公式为：$\left(\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)}, \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}\right)$，其中$n$为样本量，$s^2$为样本方差，$\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$和$\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$分别为自由度为$n-1$的卡方分布的分位数。
步骤 2：代入已知数据
已知$n=31$，$s^2=(5.8)^2$，$\chi^2_{0.05}(30)=43.77$，$\chi^2_{0.95}(30)=18.49$。代入公式得：$\left(\dfrac{30\times(5.8)^2}{43.77}, \dfrac{30\times(5.8)^2}{18.49}\right)$。
步骤 3：计算置信区间
计算得：$\left(\dfrac{30\times(5.8)^2}{43.77}, \dfrac{30\times(5.8)^2}{18.49}\right) = (23.06, 54.58)$。