9、单选 随机变量X,Y相互独立，且分别服从参数为lambda_(1)和lambda_(2)的指数分布，则P(Xgeq(1)/(lambda_(1)),Ygeq(1)/(lambda_(2)))=（）A. 1-e^-2B. 1-e^-1C. e^-2D. e^-1

本题考查指数分布的概率计算以及相互独立随机变量的概率性质。解题思路是先根据指数分布的概率密度函数求出随机变量 $X$ 大于等于 $\frac{1}{\lambda_{1}}$ 的概率 $P(X\geq\frac{1}{\lambda_{1}})$ 和随机变量 $Y$ 大于等于 $\frac{1}{\lambda_{2}}$ 的概率 $P(Y\geq\frac{1}{\lambda_{2}})$，再利用随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立的性质，即 $P(X\geq\frac{1}{\lambda_{1}},Y\geq\frac{1}{\lambda_{2}})=P(X\geq\frac{1}{\lambda_{1}})P(Y\geq\frac{1}{\lambda_{2}})$ 来计算最终结果。

步骤一：求 $P(X\geq\frac{1}{\lambda_{1}})$

已知随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda_{1}$ 的指数分布，其概率密度函数为 $f_X(x)=\begin{cases}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x}, & x\geq0 \\ 0, & x\lt{}0\end{cases}$。
根据概率的计算公式，$P(X\geq\frac{1}{\lambda_{1}})=\int_{\frac{1}{\lambda_{1}}}^{+\infty}f_X(x)dx$，将 $f_X(x)$ 代入可得：
$\begin{align*} P(X\geq\frac{1}{\lambda_{1}})&=\int_{\frac{1}{\lambda_{1}}}^{+\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x}dx\\ &=-\int_{\frac{1}{\lambda_{1}}}^{+\infty}e^{-\lambda_{1}x}d(-\lambda_{1}x)\\ &=-e^{-\lambda_{1}x}\big|_{\frac{1}{\lambda_{1}}}^{+\infty}\\ &=-(0 - e^{-1})\\ &=e^{-1} \end{align*}$

步骤二：求 $P(Y\geq\frac{1}{\lambda_{2}})$

同理，随机变量 $Y$ 服从参数为 $\lambda_{2}$ 的指数分布，其概率密度函数为 $f_Y(y)=\begin{cases}\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}, & y\geq0 \\ 0, & y\lt{}0\end{cases}$。
则 $P(Y\geq\frac{1}{\lambda_{2}})=\int_{\frac{1}{\lambda_{2}}}^{+\infty}f_Y(y)dy$，将 $f_Y(y)$ 代入可得：
$\begin{align*} P(Y\geq\frac{1}{\lambda_{2}})&=\int_{\frac{1}{\lambda_{2}}}^{+\infty}\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}dy\\ &=-\int_{\frac{1}{\lambda_{2}}}^{+\infty}e^{-\lambda_{2}y}d(-\lambda_{2}y)\\ &=-e^{-\lambda_{2}y}\big|_{\frac{1}{\lambda_{2}}}^{+\infty}\\ &=-(0 - e^{-1})\\ &=e^{-1} \end{align*}$

步骤三：求 $P(X\geq\frac{1}{\lambda_{1}},Y\geq\frac{1}{\lambda_{2}})$

因为随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，根据相互独立随机变量的概率性质可得：
$P(X\geq\frac{1}{\lambda_{1}},Y\geq\frac{1}{\lambda_{2}})=P(X\geq\frac{1}{\lambda_{1}})P(Y\geq\frac{1}{\lambda_{2}})$
将 $P(X\geq\frac{1}{\lambda_{1}})=e^{-1}$ 和 $P(Y\geq\frac{1}{\lambda_{2}})=e^{-1}$ 代入上式可得：
$P(X\geq\frac{1}{\lambda_{1}},Y\geq\frac{1}{\lambda_{2}})=e^{-1}\times e^{-1}=e^{-2}$