题目

设 A, B, C 为三个事件，用 A, B, C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 发生，B 与 C 都不发生。(2) A 与 B 都发生，而 C 不发生。(3) A, B, C 都发生。(4) A, B, C 中至少有一个发生。(5) A, B, C 都不发生。(6) A, B, C 中至多有一个发生。(7) A, B, C 中至多有两个发生。(8) A, B, C 中至少有两个发生。

设 A, B, C 为三个事件，用 A, B, C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 发生，B 与 C 都不发生。 (2) A 与 B 都发生，而 C 不发生。 (3) A, B, C 都发生。 (4) A, B, C 中至少有一个发生。 (5) A, B, C 都不发生。 (6) A, B, C 中至多有一个发生。 (7) A, B, C 中至多有两个发生。 (8) A, B, C 中至少有两个发生。

题目解答

答案

我们设 $ A $、$ B $、$ C $ 为三个事件，用集合的运算（交、并、补）来表示下列事件。记事件的补集为：$ A^c $ 表示 A 不发生，同理 $ B^c $、$ C^c $。

下面逐个分析每个小题：

(1) A 发生，B 与 C 都不发生。

  • 要求：A 发生，且 B 不发生，且 C 不发生。
  • 用集合表示为：A 发生，同时 B 不发生（即 $ B^c $），同时 C 不发生（即 $ C^c $）。
  • 所以是三者的交集：
    $A \cap B^c \cap C^c$

(2) A 与 B 都发生，而 C 不发生。

  • 要求：A 发生，B 发生，C 不发生。
  • 即：A 和 B 同时发生（$ A \cap B $），且 C 不发生（$ C^c $）。
  • 所以：
    $A \cap B \cap C^c$

(3) A, B, C 都发生。

  • 要求：A、B、C 同时发生。
  • 即三者交集：
    $A \cap B \cap C$

(4) A, B, C 中至少有一个发生。

  • “至少有一个发生” 意味着 A、B、C 中有一个或多个发生。
  • 这正是三个事件的并集：
    $A \cup B \cup C$

(5) A, B, C 都不发生。

  • 要求：A 不发生，B 不发生，C 也不发生。
  • 即：$ A^c $、$ B^c $、$ C^c $ 同时发生。
  • 所以是三者补集的交集：
    $A^c \cap B^c \cap C^c$
  • 也可以写作 $ (A \cup B \cup C)^c $，根据德摩根定律。

(6) A, B, C 中至多有一个发生。

  • “至多有一个发生” 意味着：没有一个发生，或者只有一个发生。
  • 也就是：不能有两个或三个同时发生。
  • 可以从反面考虑，但题目要求用运算关系表示，我们直接构造。

我们可以把这种情况分为互斥的几种情形：

  1. 都不发生：$ A^c \cap B^c \cap C^c $
  2. 只有 A 发生：$ A \cap B^c \cap C^c $
  3. 只有 B 发生：$ A^c \cap B \cap C^c $
  4. 只有 C 发生：$ A^c \cap B^c \cap C \cap $

这四种情况互斥，取并集即可：

$(A^c \cap B^c \cap C^c) \cup (A \cap B^c \cap C^c) \cup (A^c \cap B \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap C)$

也可以简写为：所有两两交集都不发生的补集，但按题目要求，用基本运算表达，上述写法是标准形式。

(7) A, B, C 中至多有两个发生。

  • “至多有两个发生” 意味着：不能三个都发生。
  • 也就是：排除“三个都发生”的情况。
  • 所以是 “非 (A、B、C 都发生)” 的补集的补？不对，是原事件的补。

即：总样本空间去掉三者都发生的情况。

所以可以表示为：
$(A \cap B \cap C)^c$

或者用并集表示为：
$A^c \cup B^c \cup C^c$
（根据德摩根定律）

但更直观的理解是：不是三个都发生，即至少有一个不发生，这正是 $ A^c \cup B^c \cup C^c $。

所以答案是：
$(A \cap B \cap C)^c \quad \text{或等价于} \quad A^c \cup B^c \cup C^c$

(8) A, B, C 中至少有两个发生。

  • “至少有两个发生” 包括以下情况：
    1. A 和 B 发生，C 不发生：$ A \cap B \cap C^c $
    2. A 和 C 发生，B 不发生：$ A \cap C \cap B^c $
    3. B 和 C 发生，A 不发生：$ B \cap C \cap A^c $
    4. A、B、C 都发生：$ A \cap B \cap C $

这四种情况的并集即为所求。

所以：
$(A \cap B \cap C^c) \cup (A \cap C \cap B^c) \cup (B \cap C \cap A^c) \cup (A \cap B \cap C)$

也可以简化为：所有两两交集中至少一对发生，但标准写法是上述并集。

另一种等价写法是：
$(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$
因为如果两个事件交集发生，就表示至少两个发生（可能第三个也发生，但没关系，“至少两个”满足）。

验证一下：

  • $ A \cap B $：A 和 B 发生，不管 C（如果 C 发生，三个都发生，也满足“至少两个”）
  • 同理其他两项

所以这个并集正好覆盖了“至少两个发生”的所有情况。

因此更简洁的表达是：
$(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$

最终答案汇总：

(1) $ A \cap B^c \cap C^c $
(2) $ A \cap B \cap C^c $
(3) $ A \cap B \cap C $
(4) $ A \cup B \cup C $
(5) $ A^c \cap B^c \cap C^c $
(6) $ (A^c \cap B^c \cap C^c) \cup (A \cap B^c \cap C^c) \cup (A^c \cap B \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap C) $
(7) $ A^c \cup B^c \cup C^c $ 或 $ (A \cap B \cap C)^c $
(8) $ (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) $

答案：

$\boxed{ \begin{aligned}& (1)\quad A \cap B^c \cap C^c \\& (2)\quad A \cap B \cap C^c \\& (3)\quad A \cap B \cap C \\& (4)\quad A \cup B \cup C \\& (5)\quad A^c \cap B^c \cap C^c \\& (6)\quad (A^c \cap B^c \cap C^c) \cup (A \cap B^c \cap C^c) \cup (A^c \cap B \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap C) \\& (7)\quad A^c \cup B^c \cup C^c \\& (8)\quad (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)\end{aligned} }$