4.设x1,x2,···,xn是来自正态分布N (μ,1)的样本,证明 =sum _(i=1)^n(x)_(i) 是充分统计量.

本题考查充分统计量的判定，解题思路是利用因子分解定理来证明$T = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}$是充分统计量，同时通过分析$T_1=\overline{x}$和$T_2 = (\overline{x})^2$的性质来进一步说明充分统计量的特点。

证明$T=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$是充分统计量

已知$x_1,x_2,\cdots,x_n$是来自正态分布$N(\mu,1)$的样本，其联合概率密度函数为：
$p(x_1,x_2,\cdots,x_n;\mu)=\prod_{i = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(x_i - \mu)^2}=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \mu)^2}$
将$\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \mu)^2$展开：
$\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \mu)^2=\sum_{i = 1}^{n}(x_i^2 - 2\mu x_i+\mu^2)=\sum_{i = 1}^{n}x_i^2 - 2\mu\sum_{i = 1}^{n}x_i + n\mu^2$
令$T=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，则联合概率密度函数可写为：
$p(x_1,x_2,\cdots,x_n;\mu)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{1}{2}(\sum_{i = 1}^{n}x_i^2 - 2\mu T + n\mu^2)}$
根据因子分解定理，若能将$p(x_1,x_2,\cdots,x_n;\mu)$分解为$g(T;\mu)h(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的形式，其中$g(T;\mu)$仅通过$T$依赖于$x_1,x_2,\cdots,x_n$，$h(x_1,x_2,\cdots,x_n)$不依赖于$\mu$，则$T$是$\mu$的充分统计量。
令$g(T;\mu)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{1}{2}(- 2\mu T + n\mu^2)}$，$h(x_1,x_2,\cdots,x_n)=e^{-\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}x_i^2}$，满足因子分解定理的条件，所以$T=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$是$\mu$的充分统计量。

分析$T_1=\overline{x}$和$T_2 = (\overline{x})^2$是否为充分统计量

• $T_1=\overline{x}$：
  因为$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，$T=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，所以$\overline{x}$与$T$是一一对应的。根据充分统计量的性质，若$T$是充分统计量，且$T_1$与$T$一一对应，则$T_1$也是充分统计量，所以$T_1=\overline{x}$是$\mu$的充分统计量。
• $T_2 = (\overline{x})^2$：
  已知$\overline{x}\sim N(\mu,\frac{1}{n})$，其概率密度函数为$f(\overline{x})=\sqrt{\frac{n}{2\pi}}e^{-\frac{n(\overline{x}-\mu)^2}{2}}$。
  设$Y = (\overline{x})^2$，通过变量替换求$Y$的概率密度函数。
  先求$Y$的分布函数$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P((\overline{x})^2\leq y)$，当$y\geq0$时：
  $F_Y(y)=P(-\sqrt{y}\leq\overline{x}\leq\sqrt{y})=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\sqrt{\frac{n}{2\pi}}e^{-\frac{n(\overline{x}-\mu)^2}{2}}d\overline{x}$
  对$F_Y(y)$求导可得$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$。
  然后求条件密度函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n|T_2 = t)$，经过计算发现它依赖于$\mu$，不满足充分统计量的定义，所以$T_2 = (\overline{x})^2$不是$\mu$的充分统计量。