题目
7.随机变量X服从[0,θ]上的均匀分布，今得X的一组样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6.求θ的矩估计值和最大似然估计值.
7.随机变量X服从[0,θ]上的均匀分布，今得X的一组样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6.求θ的矩估计值和最大似然估计值.
题目解答
答案
**矩估计：**
对于均匀分布 $X \sim [0, \theta]$，期望 $E(X) = \frac{\theta}{2}$。
样本均值 $\bar{x} = \frac{0.9 + 0.8 + 0.2 + 0.8 + 0.4 + 0.4 + 0.7 + 0.6}{8} = 0.6$。
令 $\bar{x} = \frac{\theta}{2}$，解得 $\theta = 2 \times 0.6 = 1.2$。
**最大似然估计：**
似然函数 $L(\theta) = \frac{1}{\theta^n}$（$n=8$），需满足 $\theta \geq \max(x_i)$。
样本最大值为 $0.9$，似然函数在 $\theta \geq 0.9$ 时单调递减，故 $\theta = 0.9$ 时最大。
**答案：**
矩估计值：$\boxed{1.2}$
最大似然估计值：$\boxed{0.9}$
解析
步骤 1：矩估计
对于均匀分布 $X \sim [0, \theta]$，期望 $E(X) = \frac{\theta}{2}$。
样本均值 $\bar{x} = \frac{0.9 + 0.8 + 0.2 + 0.8 + 0.4 + 0.4 + 0.7 + 0.6}{8} = 0.6$。
令 $\bar{x} = \frac{\theta}{2}$，解得 $\theta = 2 \times 0.6 = 1.2$。
步骤 2：最大似然估计
似然函数 $L(\theta) = \frac{1}{\theta^n}$（$n=8$），需满足 $\theta \geq \max(x_i)$。
样本最大值为 $0.9$，似然函数在 $\theta \geq 0.9$ 时单调递减，故 $\theta = 0.9$ 时最大。
对于均匀分布 $X \sim [0, \theta]$，期望 $E(X) = \frac{\theta}{2}$。
样本均值 $\bar{x} = \frac{0.9 + 0.8 + 0.2 + 0.8 + 0.4 + 0.4 + 0.7 + 0.6}{8} = 0.6$。
令 $\bar{x} = \frac{\theta}{2}$，解得 $\theta = 2 \times 0.6 = 1.2$。
步骤 2：最大似然估计
似然函数 $L(\theta) = \frac{1}{\theta^n}$（$n=8$），需满足 $\theta \geq \max(x_i)$。
样本最大值为 $0.9$，似然函数在 $\theta \geq 0.9$ 时单调递减，故 $\theta = 0.9$ 时最大。