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设某动物出生幼崽的体重X~N(200,400)(单位:克),则(1) x~( ) ; (2)P(X<180) = ( ) ; (保留4位小数)(3)设Y为体重小于180克的动物数量,则Y~ ( ) ;(4)若某窝动物共出生5只幼崽,求体重不超过180克的幼崽数量不超过1个的概率()(保留2位小数)。

设某动物出生幼崽的体重X~N(200,400)(单位:克),则

(1) x~( ) ; 

(2)P(X<180) = ( ) ; (保留4位小数)

(3)设Y为体重小于180克的动物数量,则Y~ ( ) ;

(4)若某窝动物共出生5只幼崽,求体重不超过180克的幼崽数量不超过1个的概率()(保留2位小数)。

题目解答

答案

解析

  1. 正态分布参数识别:题目给出$X \sim N(200, 400)$,需明确参数$\mu$和$\sigma$的含义。
  2. 标准化求概率:将$X$标准化为标准正态变量$Z$,利用标准正态分布表计算概率。
  3. 二项分布建模:根据独立重复试验的特点,判断$Y$服从二项分布$B(n, p)$。
  4. 二项概率计算:通过二项分布公式计算累计概率,注意组合数的计算和结果保留小数位数。

第(1)题

正态分布参数确认
已知$X \sim N(200, 400)$,其中$\mu = 200$为均值,$\sigma^2 = 400$为方差,因此$\sigma = \sqrt{400} = 20$。
结论:$X \sim N(200, 20^2)$。

第(2)题

标准化处理

将$X < 180$标准化为$Z$值:
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{180 - 200}{20} = -1$

查标准正态分布表

$P(Z < -1) \approx 0.1587$(查表或用计算器)。

第(3)题

确定二项分布参数

每只幼崽体重小于180克的概率$p = P(X < 180) \approx 0.1587$,总数量$n = 5$(后续问题隐含)。
结论:$Y \sim B(5, 0.1587)$。

第(4)题

计算累计概率

$P(Y \leq 1) = P(Y=0) + P(Y=1)$,其中:

  • $P(Y=0) = C_5^0 \cdot (0.1587)^0 \cdot (1-0.1587)^5 \approx 0.4287$
  • $P(Y=1) = C_5^1 \cdot (0.1587)^1 \cdot (1-0.1587)^4 \approx 0.3969$
    总和:$0.4287 + 0.3969 = 0.8256 \approx 0.83$(保留两位小数)。

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