题目
设总体sim N(mu ,(sigma )^2), sim N(mu ,(sigma )^2) 为从该总体中得到的样本，sim N(mu ,(sigma )^2)和sim N(mu ,(sigma )^2)分别是样本均值和样本方差，则sim N(mu ,(sigma )^2) ( ) A、对 B、错
设总体
, 
为从该总体中得到的样本，
和
分别是样本均值和样本方差，则
( )
A、对
B、错
题目解答
答案
由已知有：总体, 为从该总体中得到的样本，和分别是样本均值和样本方差
由样本均值和样本方差的性质有：
，
，且和相互独立。
故
故
，即
故答案为：B
解析
步骤 1：样本均值和样本方差的性质
根据样本均值和样本方差的性质，我们有：
- 样本均值$\overline{X}$的分布为$N(\mu, \dfrac{{\sigma}^{2}}{n})$。
- 样本方差$S^2$的分布为$\dfrac{(n-1)S^2}{{\sigma}^{2}}\sim \chi^2(n-1)$，其中$\chi^2(n-1)$表示自由度为$n-1$的卡方分布。
- 样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$相互独立。
步骤 2：标准化样本均值
根据样本均值的性质，我们可以得到标准化后的样本均值的分布：
$$\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\dfrac{{\sigma}^{2}}{n}}}\sim N(0,1)$$
这表示标准化后的样本均值服从标准正态分布$N(0,1)$。
步骤 3：替换样本方差
由于样本方差$S^2$的分布为$\dfrac{(n-1)S^2}{{\sigma}^{2}}\sim \chi^2(n-1)$，我们可以用样本方差$S$来代替总体标准差$\sigma$，得到：
$$\dfrac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)$$
这表示标准化后的样本均值除以样本标准差$S$服从自由度为$n-1$的t分布$t(n-1)$。
根据样本均值和样本方差的性质，我们有：
- 样本均值$\overline{X}$的分布为$N(\mu, \dfrac{{\sigma}^{2}}{n})$。
- 样本方差$S^2$的分布为$\dfrac{(n-1)S^2}{{\sigma}^{2}}\sim \chi^2(n-1)$，其中$\chi^2(n-1)$表示自由度为$n-1$的卡方分布。
- 样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$相互独立。
步骤 2：标准化样本均值
根据样本均值的性质，我们可以得到标准化后的样本均值的分布：
$$\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\dfrac{{\sigma}^{2}}{n}}}\sim N(0,1)$$
这表示标准化后的样本均值服从标准正态分布$N(0,1)$。
步骤 3：替换样本方差
由于样本方差$S^2$的分布为$\dfrac{(n-1)S^2}{{\sigma}^{2}}\sim \chi^2(n-1)$，我们可以用样本方差$S$来代替总体标准差$\sigma$，得到：
$$\dfrac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)$$
这表示标准化后的样本均值除以样本标准差$S$服从自由度为$n-1$的t分布$t(n-1)$。