32.不定积分 int dfrac (1)({x)^3}sin dfrac (1)(x)dx= __

本题考查不定积分的计算，解题思路是通过换元法将复杂的积分转化为较为简单的形式，再利用分部积分法进行求解。

1. 换元：
   设$t = \frac{1}{x}$，对$t$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$dt=-\frac{1}{x^{2}}dx$，即$\frac{1}{x^{3}}dx=-\frac{1}{t^{2}}dt$。
   那么原积分$\int\frac{1}{x^{3}}\sin\frac{1}{x}dx$就变为$\int t^{3}\sin t\cdot(-\frac{1}{t^{2}})dt$。
   对$\int t^{3}\sin t\cdot(-\frac{1}{t^{2}})dt$进行化简，$t^{3}\cdot(-\frac{1}{t^{2}})=-t$，所以$\int t^{3}\sin t\cdot(-\frac{1}{t^{2}})dt=-\int t\sin tdt$。
2. 利用分部积分法计算$-\int t\sin tdt$：
   分部积分公式为$\int u dv=uv-\int v du$。
   令$u = t$，$dv=\sin tdt$。
   对$u$求导，$du = dt$；对$dv$积分，$v=-\cos t$。
   根据分部积分公式可得$-\int t\sin tdt=-[t(-\cos t)-\int(-\cos t)dt]$。
   先计算$\int(-\cos t)dt=-\sin t + C_1$（$C_1$为常数）。
   则$-[t(-\cos t)-\int(-\cos t)dt]=t\cos t+\int(-\cos t)dt=t\cos t-\sin t + C$（$C$为常数）。
3. 回代：
   因为$t=\frac{1}{x}$，将其代回$t\cos t-\sin t + C$，得到$\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}-\sin\frac{1}{x}+C$。