题目
段某进入公众服务中心的顾客,每人接受服务的时间X (分钟)服从均值为6的指数-|||-分布,随机观察n个人接受服务的时间,结果为X1,X2,···,,,,,,,,,,,定每个人接受服务的时-|||-间是相互独立的,那么当 n=100 时,利用中心极限定理, (5lt overline (X)lt 7)= () .-|||-A https:/img.zuoyebang.cc/zyb_b4960d955933916cf88ceac47ae80810.jpg-(gt )(dfrac (5)(3)) ;-|||-B circled (1)(dfrac (5)(3))-|||-C oplus (dfrac (5)(3))-1;-|||-D -2oplus (dfrac (5)(3));
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
题目中提到，每人接受服务的时间X (分钟)服从均值为6的指数分布。指数分布的概率密度函数为$f(x) = \frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}$，其中$\mu$是均值。因此，$X$的均值$\mu = 6$，方差$\sigma^2 = \mu^2 = 36$。
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量$n$足够大时，样本均值$\overline{X}$的分布近似于正态分布，即$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。这里$n=100$，所以$\overline{X} \sim N(6, \frac{36}{100})$，即$\overline{X} \sim N(6, 0.36)$。
步骤 3：计算概率
我们需要计算$P(5 < \overline{X} < 7)$。首先，将$\overline{X}$标准化，得到$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$。因此，$Z \sim N(0, 1)$。将$5$和$7$标准化，得到$Z_1 = \frac{5 - 6}{0.6} = -\frac{5}{3}$和$Z_2 = \frac{7 - 6}{0.6} = \frac{5}{3}$。因此，$P(5 < \overline{X} < 7) = P(-\frac{5}{3} < Z < \frac{5}{3}) = \Phi(\frac{5}{3}) - \Phi(-\frac{5}{3})$。由于$\Phi(-\frac{5}{3}) = 1 - \Phi(\frac{5}{3})$，所以$P(5 < \overline{X} < 7) = 2\Phi(\frac{5}{3}) - 1$。
题目中提到，每人接受服务的时间X (分钟)服从均值为6的指数分布。指数分布的概率密度函数为$f(x) = \frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}$，其中$\mu$是均值。因此，$X$的均值$\mu = 6$，方差$\sigma^2 = \mu^2 = 36$。
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量$n$足够大时，样本均值$\overline{X}$的分布近似于正态分布，即$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。这里$n=100$，所以$\overline{X} \sim N(6, \frac{36}{100})$，即$\overline{X} \sim N(6, 0.36)$。
步骤 3：计算概率
我们需要计算$P(5 < \overline{X} < 7)$。首先，将$\overline{X}$标准化，得到$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$。因此，$Z \sim N(0, 1)$。将$5$和$7$标准化，得到$Z_1 = \frac{5 - 6}{0.6} = -\frac{5}{3}$和$Z_2 = \frac{7 - 6}{0.6} = \frac{5}{3}$。因此，$P(5 < \overline{X} < 7) = P(-\frac{5}{3} < Z < \frac{5}{3}) = \Phi(\frac{5}{3}) - \Phi(-\frac{5}{3})$。由于$\Phi(-\frac{5}{3}) = 1 - \Phi(\frac{5}{3})$，所以$P(5 < \overline{X} < 7) = 2\Phi(\frac{5}{3}) - 1$。