当 x arrow 0 时, 下列函数中比 x 高阶的无穷小量是A. x^2 - xB. ln(1 + x)C. sqrt(1 + x^2) - sqrt(1 - x^2)D. (1 - cos x)/(x^2)

我们来分析题目：

题目要求：当 $ x \to 0 $ 时，找出比 $ x $ 高阶的无穷小量。

也就是说，我们要找一个函数 $ f(x) $，使得：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$
即：$ f(x) = o(x) $（比 $ x $ 高阶的无穷小）。

我们逐个分析选项。

A. $ x^2 - x $

分析：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( x - 1 \right) = -1$
极限是 $-1$，不是 0，说明这个函数与 $ x $ 是同阶无穷小，不是高阶。

所以 A 不是答案。

B. $ \ln(1 + x) $

我们知道当 $ x \to 0 $ 时，有等价无穷小：
$\ln(1 + x) \sim x$
所以：
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$
极限为 1，说明与 $ x $ 是等价无穷小，更不是高阶。

所以 B 不是答案。

C. $ \sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2} $

这个看起来复杂，我们尝试化简或展开。

使用泰勒展开或有理化方法。

先尝试有理化：

$\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2} = \frac{(\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2})(\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2})}{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}} = \frac{(1 + x^2) - (1 - x^2)}{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}} = \frac{2x^2}{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}}$

当 $ x \to 0 $ 时，分母：
$\sqrt{1 + x^2} \to 1, \quad \sqrt{1 - x^2} \to 1 \quad \Rightarrow \quad \text{分母} \to 1 + 1 = 2$
所以整个表达式近似为：
$\frac{2x^2}{2} = x^2$
即：
$\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2} \sim x^2 \quad (x \to 0)$

而 $ x^2 $ 是比 $ x $ 高阶的无穷小，因为：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0$

所以 C 是比 $ x $ 高阶的无穷小。

C 可能是答案，我们再看 D。

D. $ \frac{1 - \cos x}{x^2} $

注意：这个函数本身是一个表达式，我们要分析它在 $ x \to 0 $ 时的阶。

我们知道：
$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \quad (x \to 0)$
所以：
$\frac{1 - \cos x}{x^2} \sim \frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2} = \frac{1}{2}$
即：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
所以这个函数的极限是常数 $ \frac{1}{2} $，说明它是有界量，和 1 同阶，不是无穷小！

更不用说比 $ x $ 高阶了。

D 不是无穷小，更不是比 $ x $ 高阶的无穷小。

总结：

• A：与 $ x $ 同阶 → ❌
• B：与 $ x $ 等价 → ❌
• C：等价于 $ x^2 $，是比 $ x $ 高阶的无穷小 → ✅
• D：极限为 $ \frac{1}{2} $，不是无穷小 → ❌

答案：C

$\boxed{C}$