题目

21. (10分)某个计算机系统有120个终端，每个终端有10%的时间要与主机交换数据，如果同一时刻有超过20台的终端要与主机交换数据，系统将发生数据传送堵塞.假设各终端工作是相互独立的，用中心极限定理求系统发生堵塞现象的概率.参考数据如下：(sqrt(10.8)approx 3.29,Phi(2.43)=0.9925)

21. (10分)某个计算机系统有120个终端，每个终端有10%的时间要与主机交换数据，如果同一时刻有超过20台的终端要与主机交换数据，系统将发生数据传送堵塞.假设各终端工作是相互独立的，用中心极限定理求系统发生堵塞现象的概率.参考数据如下： $(\sqrt{10.8}\approx 3.29,\Phi(2.43)=0.9925)$

题目解答

答案

为了求出系统发生堵塞现象的概率，我们需要使用中心极限定理。中心极限定理指出，对于一个独立同分布的随机变量序列，当变量数量足够大时，它们的和的分布可以近似为正态分布。 在这个问题中，我们有120个终端，每个终端有10%的时间要与主机交换数据。设 $ X_i $ 是第 $ i $ 个终端要与主机交换数据的指示变量，即 $ X_i = 1 $ 如果第 $ i $ 个终端要与主机交换数据， $ X_i = 0 $ 否则。那么 $ X_i $ 是一个伯努利随机变量，其期望和方差分别为： \[ E(X_i) = 0.1, \quad \text{Var}(X_i) = 0.1 \times (1 - 0.1) = 0.09. \] 设 $ X $ 是同一时刻要与主机交换数据的终端数量，那么 $ X = X_1 + X_2 + \cdots + X_{120} $。根据中心极限定理，当 $ n = 120 $ 足够大时， $ X $ 的分布可以近似为正态分布，其期望和方差分别为： \[ E(X) = n \times E(X_i) = 120 \times 0.1 = 12, \] \[ \text{Var}(X) = n \times \text{Var}(X_i) = 120 \times 0.09 = 10.8. \] 我们 interested in $ P(X > 20) $。为了使用正态分布近似，我们首先对 $ X $ 进行标准化： \[ P(X > 20) \approx P\left( \frac{X - 12}{\sqrt{10.8}} > \frac{20 - 12}{\sqrt{10.8}} \right) = P\left( Z > \frac{8}{\sqrt{10.8}} \right), \] 其中 $ Z $ 是标准正态随机变量。由于 $ \sqrt{10.8} \approx 3.29 $，我们有： \[ P\left( Z > \frac{8}{3.29} \right) \approx P(Z > 2.43). \] 使用标准正态分布表，我们找到 $ \Phi(2.43) = 0.9925 $，其中 $ \Phi $ 是标准正态分布的 cumulative distribution function (CDF)。因此： \[ P(Z > 2.43) = 1 - \Phi(2.43) = 1 - 0.9925 = 0.0075. \] 所以，系统发生堵塞现象的概率是： \[ \boxed{0.0075}. \]

解析

本题考查中心极限定理的应用。解题思路如下：

  1. 首先定义随机变量：设$X_i$是第$i$个终端要与主机交换数据的指示变量，$X_i = 1$表示第$i$个终端要与主机交换数据，$X_i = 0$表示否则。$X_i$服从伯努利分布，其期望$E(X_i)=p = 0.1$（这里$p$是终端要与主机交换数据的概率），方差$\text{Var}(X_i)=p(1 - p)=0.1\times(1 - 0.1)=0.09$。
  2. 然后确定同一时刻要与主机交换数据的终端总数$X$：$X = X_1 + X_2+\cdots+X_{120}$，根据中心极限定理，当$n = 120$足够大时，$X$近似服从正态分布$N(nE(X_i),n\text{Var}(X_i))$。
    • 计算$X$的期望：$E(X)=n\times E(X_i)=120\times0.1 = 12$。
    • 计算$X$的方差：$\text{Var}(X)=n\times\text{Var}(X_i)=120\times0.09 = 10.8$。
  3. 接着求系统发生堵塞的概率$P(X>20)$：
    • 对$X$进行标准化，令$Z=\frac{X - E(X)}{\sqrt{\text{Var}(X)}}$，则$P(X > 20)\approx P\left(\frac{X - 12}{\sqrt{10.8}}>\frac{20 - 12}{\sqrt{10.8}}\right)=P\left(Z>\frac{8}{\sqrt{10.8}}\right)$。
    • 已知$\sqrt{10.8}\approx3.29$，则$\frac{8}{\sqrt{10.8}}\approx\frac{8}{3.29}\approx2.43$，所以$P\left(Z>\frac{8}{\sqrt{10.8}}\right)\approx P(Z > 2.43)$。
  4. 最后根据标准正态分布的性质计算概率：
    • 标准正态分布的累积分布函数为$\Phi(z)$，$P(Z > 2.43)=1-\Phi(2.43)$。
    • 已知$\Phi(2.43)=0.9925$，所以$P(Z > 2.43)=1 - 0.9925=0.0075$。