题目

3.设总体X的密度函数为f(x)=}0,&(others)1)/(theta)e^-(x)/(theta),&x>0,theta>0是一组样本观测值，求参数theta的极大似然估计值.

3.设总体X的密度函数为$f(x)=\begin{cases}0,&\text{others}\\\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0,\theta>0\end{cases}$，其中$\theta$未知，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是一组样本观测值，求参数$\theta$的极大似然估计值.

题目解答

答案

似然函数为 $$ L(\theta) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i}. $$ 取对数得 $$ \ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i. $$ 求导并令其为零： $$ -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i = 0. $$ 解得 $$ \theta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \overline{x}. $$ **答案：** $$ \boxed{\overline{x}} $$

解析

考查要点：本题主要考查极大似然估计的基本方法，涉及指数分布的参数估计。

解题核心思路：

  1. 写出似然函数：根据指数分布的概率密度函数，将样本观测值的联合概率表示为θ的函数。
  2. 取对数简化计算：对似然函数取对数，转化为线性表达式便于求导。
  3. 求导找极值点：对对数似然函数求导并令导数为零，解方程得到θ的估计值。
  4. 验证解的合理性：确认解为极大值点（本题中默认唯一解即为最大值）。

破题关键点：

  • 正确构建似然函数：注意指数分布的密度函数形式及样本独立性。
  • 对数转换与求导技巧：处理乘积形式的似然函数时，取对数可简化运算。
  • 方程求解：通过代数变形解出θ的表达式，最终结果与样本均值相关。

构建似然函数

指数分布的密度函数为：
$f(x;\theta) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x > 0, \theta > 0 \\0, & \text{其他}\end{cases}$
样本观测值为$x_1, x_2, \dots, x_n$，似然函数为各密度值的乘积：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_i}{\theta}} = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i}.$

取对数简化计算

对似然函数取自然对数：
$\ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i.$

求导并解方程

对$\theta$求导并令导数为零：
$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i = 0.$
整理方程：
$-\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i = 0 \implies \sum_{i=1}^n x_i = n\theta \implies \theta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \overline{x}.$

验证解的合理性

二阶导数为负（略），说明该解为极大值点，故$\theta$的极大似然估计值为样本均值$\overline{x}$。