题目

7、从正态总体 X sim N(4.2,5^2) 中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间 (2.2,6.2) 内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大?

7、从正态总体 $X \sim N(4.2,5^{2})$ 中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间 (2.2,6.2) 内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大?

题目解答

答案

设样本均值 $\overline{X} \sim N(4.2, \frac{25}{n})$，标准化得： $Z = \frac{\overline{X} - 4.2}{5/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$ 求 $P(2.2 < \overline{X} < 6.2) \geq 0.95$，即： $P\left(-0.4\sqrt{n} < Z < 0.4\sqrt{n}\right) \geq 0.95$ 由标准正态分布性质，$\Phi(1.96) = 0.975$，故： $0.4\sqrt{n} \geq 1.96 \implies \sqrt{n} \geq 4.9 \implies n \geq 24.01$ 取整数，得 $n \geq 25$。 答案： $\boxed{25}$

解析

本题考查正态分布的性质以及样本均值的分布，解题的关键在于利用正态分布的标准化以及标准正态分布的性质来确定样本容量 $n$ 的取值范围。

  1. 确定样本均值的分布：
    已知总体 $X \sim N(4.2,5^{2})$，从中抽取容量为 $n$ 的样本，根据正态分布的性质，样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布，且 $\overline{X} \sim N(4.2, \frac{5^{2}}{n})$，即 $\overline{X} \sim N(4.2, \frac{25}{n})$。
  2. 对样本均值进行标准化：
    为了利用标准正态分布的性质，我们对 $\overline{X}$ 进行标准化处理。设 $Z = \frac{\overline{X} - 4.2}{5/\sqrt{n}}$，根据正态分布标准化的性质可知 $Z \sim N(0,1)$。
  3. 计算样本均值位于区间 $(2.2,6.2)$ 内的概率：
    要求 $P(2.2 < \overline{X} < 6.2) \geq 0.95$，将不等式进行标准化变换。
    • 对不等式 $2.2 < \overline{X} < 6.2$ 同时减去均值 $4.2$，得到 $2.2 - 4.2 < \overline{X} - 4.2 < 6.2 - 4.2$，即 $-2 < \overline{X} - 4.2 < 2$。
    • 再将不等式两边同时除以标准差 $\frac{5}{\sqrt{n}}$，得到 $\frac{-2}{5/\sqrt{n}} < \frac{\overline{X} - 4.2}{5/\sqrt{n}} < \frac{2}{5/\sqrt{n}}$，也就是 $-0.4\sqrt{n} < Z < 0.4\sqrt{n}$。
    • 所以 $P(2.2 < \overline{X} < 6.2) = P\left(-0.4\sqrt{n} < Z < 0.4\sqrt{n}\right)$，则原不等式变为 $P\left(-0.4\sqrt{n} < Z < 0.4\sqrt{n}\right) \geq 0.95$。
  4. 利用标准正态分布的性质求解 $n$：
    根据标准正态分布的性质，$P\left(-0.4\sqrt{n} < Z < 0.4\sqrt{n}\right) = \varPhi(0.4\sqrt{n}) - \varPhi(-0.4\sqrt{n})$，又因为标准正态分布关于 $y$ 轴对称，所以 $\varPhi(-0.4\sqrt{n}) = 1 - \varPhi(0.4\sqrt{n})$，则 $P\left(-0.4\sqrt{n} < Z < 0.4\sqrt{n}\right) = 2\varPhi(0.4\sqrt{n}) - 1$。
    已知 $\varPhi(1.96) = 0.975$，要使 $2\varPhi(0.4\sqrt{n}) - 1 \geq 0.95$，则 $2\varPhi(0.4\sqrt{n}) \geq 1 + 0.95 = 1.95$，即 $\varPhi(0.4\sqrt{n}) \geq 0.975$。
    因为 $\varPhi(1.96) = 0.975$，且 $\varPhi(x)$ 是单调递增函数，所以 $0.4\sqrt{n} \geq 1.96$。
    • 两边同时除以 $0.4$，得到 $\sqrt{n} \geq \frac{1.96}{0.4} = 4.9$。
    • 两边同时平方，得到 $n \geq 4.9^{2} = 24.01$。
  5. 确定样本容量 $n$ 的最小值：
    由于样本容量 $n$ 必须为整数，所以 $n$ 至少取 $25$。