题目
设总体X服从正态分布N(μ,σ^2),μ和σ^2均为未知参数,X1,X2,···Xn是来自X服从正态分布N(μ,σ^2),μ和σ^2均为未知参数,X1,X2,···Xn的最大似然估计量为（ ）。A.X服从正态分布N(μ,σ^2),μ和σ^2均为未知参数,X1,X2,···XnB.X服从正态分布N(μ,σ^2),μ和σ^2均为未知参数,X1,X2,···XnC.X服从正态分布N(μ,σ^2),μ和σ^2均为未知参数,X1,X2,···XnD.X服从正态分布N(μ,σ^2),μ和σ^2均为未知参数,X1,X2,···Xn
设总体
是来自
的最大似然估计量为（ ）。
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
A. $\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$
解析
步骤 1：理解最大似然估计量的概念
最大似然估计量是通过最大化似然函数来估计参数的方法。对于正态分布，似然函数是基于样本数据和参数的联合概率密度函数。
步骤 2：写出似然函数
对于正态分布N(μ,σ^2)，似然函数L(μ,σ^2)是样本数据X1,X2,...,Xn的联合概率密度函数，即
\[L(μ,σ^2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}} e^{-\frac{(X_i - μ)^2}{2σ^2}}\]
步骤 3：对似然函数取对数
为了简化计算，我们通常对似然函数取对数，得到对数似然函数：
\[lnL(μ,σ^2) = -\frac{n}{2}ln(2π) - \frac{n}{2}ln(σ^2) - \frac{1}{2σ^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i - μ)^2\]
步骤 4：求导并求解
对对数似然函数关于σ^2求导，并令导数等于0，求解得到σ^2的最大似然估计量。求导后得到：
\[\frac{∂lnL}{∂σ^2} = -\frac{n}{2σ^2} + \frac{1}{2(σ^2)^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i - μ)^2 = 0\]
解得：
\[σ^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - μ)^2\]
由于μ未知，我们用样本均值$\overline{X}$代替μ，得到σ^2的最大似然估计量为：
\[σ^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\]
最大似然估计量是通过最大化似然函数来估计参数的方法。对于正态分布，似然函数是基于样本数据和参数的联合概率密度函数。
步骤 2：写出似然函数
对于正态分布N(μ,σ^2)，似然函数L(μ,σ^2)是样本数据X1,X2,...,Xn的联合概率密度函数，即
\[L(μ,σ^2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}} e^{-\frac{(X_i - μ)^2}{2σ^2}}\]
步骤 3：对似然函数取对数
为了简化计算，我们通常对似然函数取对数，得到对数似然函数：
\[lnL(μ,σ^2) = -\frac{n}{2}ln(2π) - \frac{n}{2}ln(σ^2) - \frac{1}{2σ^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i - μ)^2\]
步骤 4：求导并求解
对对数似然函数关于σ^2求导，并令导数等于0，求解得到σ^2的最大似然估计量。求导后得到：
\[\frac{∂lnL}{∂σ^2} = -\frac{n}{2σ^2} + \frac{1}{2(σ^2)^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i - μ)^2 = 0\]
解得：
\[σ^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - μ)^2\]
由于μ未知，我们用样本均值$\overline{X}$代替μ，得到σ^2的最大似然估计量为：
\[σ^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\]