题目

5.（2.0分）设(N(t),t≥0)是强度为λ的泊松过程，则对任意的s,t≥0，协方差Cov(N(t),N(t+s))=____。

5.（2.0分）设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，则对任意的s,t≥0，协方差Cov(N(t),N(t+s))=____。

题目解答

答案

设 $ \{N(t), t \geq 0\} $ 为强度为 $ \lambda $ 的泊松过程，求 $ \text{Cov}(N(t), N(t+s)) $。
由协方差定义：
$\text{Cov}(N(t), N(t+s)) = E[N(t)N(t+s)] - E[N(t)]E[N(t+s)]$
其中，$ E[N(t)] = \lambda t $，$ E[N(t+s)] = \lambda(t+s) $，故
$E[N(t)]E[N(t+s)] = \lambda^2 t(t+s)$
利用独立增量性质，$ N(t+s) = N(t) + (N(t+s) - N(t)) $，且 $ N(t) $ 与 $ N(t+s) - N(t) $ 独立，得
$E[N(t)N(t+s)] = E[N(t)^2] + E[N(t)]E[N(t+s) - N(t)] = \lambda t + \lambda^2 t^2 + \lambda^2 ts$
代入得
$\text{Cov}(N(t), N(t+s)) = (\lambda t + \lambda^2 t^2 + \lambda^2 ts) - \lambda^2 t(t+s) = \lambda t$
或直接利用 $ \text{Cov}(N(t), N(t+s)) = \text{Var}(N(t)) = \lambda t $。

答案： $\boxed{\lambda t}$

解析

本题考查泊松过程的性质以及协方差的计算。解题思路是先根据协方差的定义将$\text{Cov}(N(t), N(t+s))$展开，然后分别计算$E[N(t)]$、$E[N(t+s)]$和$E[N(t)N(t+s)]$，最后代入协方差公式求解。

  1. 根据协方差定义展开式子：
    协方差的定义为$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$，对于本题有$\text{Cov}(N(t), N(t+s)) = E[N(t)N(t+s)] - E[N(t)]E[N(t+s)]$。
  2. 计算$E[N(t)]$和$E[N(t+s)]$：
    已知$\{N(t),t\geq0\}$是强度为$\lambda$的泊松过程，根据泊松过程的性质，其在时间区间$[0,t]$内的期望$E[N(t)] = \lambda t$，在时间区间$[0,t + s]$内的期望$E[N(t+s)] = \lambda(t+s)$。
    所以$E[N(t)]E[N(t+s)] = \lambda t\cdot\lambda(t+s)=\lambda^2 t(t+s)$。
  3. 计算$E[N(t)N(t+s)]$：
    利用独立增量性质，$N(t+s) = N(t) + (N(t+s) - N(t))$，且$N(t)$与$N(t+s) - N(t)$独立。
    根据期望的性质$E[XY]=E[X]E[Y]$（$X$与$Y$独立），可得：
    $E[N(t)N(t+s)] = E[N(t)(N(t) + (N(t+s) - N(t)))]$
    $=E[N(t)^2 + N(t)(N(t+s) - N(t)))])]$
    $=E[N(t)^2] + E[N(t)]E[N(t+s) - N(t)]$
    对于泊松过程$N(t)$，其方差$\text{Var}(N(t)) = \lambda t$，又因为$\text{Var}(N(t)) = E[N(t)^2] - (E[N(t)])^2$，所以$E[N(t)^2] = \text{Var}(N(t)) + (E[N(t)])^2=\lambda t + (\lambda t)^2=\lambda t + \lambda^2 t^2$。
    而$E[N(t+s) - N(t)] = \lambda s$（泊松过程的独立增量性，在时间区间$[t,t + s]$内的期望为$\lambda s$），$E[N(t)] = \lambda t$，则$E[N(t)]E[N(t+s) - N(t)] = \lambda t\cdot\lambda s=\lambda^2 ts$。
    所以$E[N(t)N(t+s)] = \lambda t + \lambda^2 t^2 + \lambda^2 ts$。
  4. 计算协方差$\text{Cov}(N(t), N(t+s))$：
    将$E[N(t)N(t+s)] = \lambda t + \lambda^2 t^2 + \lambda^2 ts$和$E[N(t)]E[N(t+s)] = \lambda^2 t(t+s)$代入协方差公式可得：
    $\text{Cov}(N(t), N(t+s)) = (\lambda t + \lambda^2 t^2 + \lambda^2 ts) - \lambda^2 t(t+s)$
    $=\lambda t + \lambda^2 t^2 + \lambda^2 ts - \lambda^2 t^2 - \lambda^2 ts$
    $=\lambda t$
    也可以直接利用$\text{Cov}(N(t), N(t+s)) = \text{Var}(N(t)) = \lambda t$（因为$N(t)$是$N(t)$和$N(t+s)$的公共部分，且泊松过程的方差为$\lambda t$）。