题目

矩阵} 1 & 2 & 3 2 & 2 & 1 3 & 4 & 3

矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{bmatrix}$的逆矩阵为（ ）.

A. $\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & -\frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

D. $\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

题目解答

答案

计算矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{bmatrix} $ 的行列式：
$\det(A) = 1 \times (2 \times 3 - 1 \times 4) - 2 \times (2 \times 3 - 1 \times 3) + 3 \times (2 \times 4 - 2 \times 3) = 2$

求余子式矩阵并转置得伴随矩阵：
$\text{余子式矩阵} = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 2 \\ 6 & -6 & 2 \\ -4 & 5 & -2 \end{bmatrix}, \quad \text{伴随矩阵} = \begin{bmatrix} 2 & 6 & -4 \\ -3 & -6 & 5 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}$

逆矩阵为：
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 6 & -4 \\ -3 & -6 & 5 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

答案： $\boxed{A}$

解析

本题考查矩阵逆矩阵的求解，解题思路是先计算原矩阵的行列式，判断矩阵是否可逆，若可逆再求出其伴随矩阵，最后根据逆矩阵公式$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$计算逆矩阵。

  1. 计算矩阵$A$的行列式$\det(A)$：
    已知矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{bmatrix}$，根据三阶行列式的计算公式$\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$（其中$a_{ij}$是矩阵$A$的元素，$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$，$M_{ij}$是$a_{ij}$的余子式）可得：
    $\det(A)=1\times\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&1\\3&3\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}2&2\\3&4\end{vmatrix}$
    分别计算二阶行列式：
    $\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}=2\times3 - 1\times4 = 2$
    $\begin{vmatrix}2&1\\3&3\end{vmatrix}=2\times3 - 1\times3 = 3$
    $\begin{vmatrix}2&2\\3&4\end{vmatrix}=2\times4 - 2\times3 = 2$
    将上述结果代入$\det(A)$的表达式可得：
    $\det(A)=1\times2 - 2\times3 + 3\times2 = 2 - 6 + 6 = 2\neq0$
    因为$\det(A)\neq0$，所以矩阵$A$可逆。
  2. 求矩阵$A$的余子式矩阵：
    $M_{11}=\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}=2$
    $M_{12}=\begin{vmatrix}2&1\\3&3\end{vmatrix}=3$
    $M_{13}=\begin{vmatrix}2&2\\3&4\end{vmatrix}=2$
    $M_{21}=\begin{vmatrix}2&3\\4&3\end{vmatrix}=2\times3 - 3\times4 = -6$
    $M_{22}=\begin{vmatrix}1&3\\3&3\end{vmatrix}=1\times3 - 3\times3 = -6$
    $M_{23}=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\times4 - 2\times3 = -2$
    $M_{31}=\begin{vmatrix}2&3\\2&1\end{vmatrix}=2\times1 - 3\times2 = -4$
    $M_{32}=\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}=1\times1 - 3\times2 = -5$
    $M_{33}=\begin{vmatrix}1&2\\2&2\end{vmatrix}=1\times2 - 2\times2 = -2$
    所以余子式矩阵为$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 2 \\ -6 & -6 & -2 \\ -4 & -5 & -2 \end{bmatrix}$。
  3. 求矩阵$A$的伴随矩阵$\text{adj}(A)$：
    伴随矩阵是余子式矩阵的代数余子式矩阵的转置，代数余子式$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$，则代数余子式矩阵为：
    $\begin{bmatrix} (-1)^{1 + 1}M_{11} & (-1)^{1 + 2}M_{12} & (-1)^{1 + 3}M_{13} \\ (-1)^{2 + 1}M_{21} & (-1)^{2 + 2}M_{22} & (-1)^{2 + 3}M_{23} \\ (-1)^{3 + 1}M_{31} & (-1)^{3 + 2}M_{32} & (-1)^{3 + 3}M_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & -3 & 2 \\ 6 & -6 & 2 \\ -4 & 5 & -2 \end{bmatrix}$
    将其转置可得伴随矩阵$\text{adj}(A)=\begin{bmatrix} 2 & 6 & -4 \\ -3 & -6 & 5 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}$。
  4. 计算矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$：
    根据逆矩阵公式$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$，将$\det(A)=2$和$\text{adj}(A)=\begin{bmatrix} 2 & 6 & -4 \\ -3 & -6 & 5 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}$代入可得：
    $A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 & 6 & -4 \\ -3 & -6 & 5 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\times2 & \frac{1}{2}\times6 & \frac{1}{2}\times(-4) \\ \frac{1}{2}\times(-3) & \frac{1}{2}\times(-6) & \frac{1}{2}\times5 \\ \frac{1}{2}\times2 & \frac{1}{2}\times2 & \frac{1}{2}\times(-2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$