题目
[ 多选题 ] 关于数列收敛与有界的关系 下列说法正确的是（）。A.收敛则一定有界 B.有界则一定收敛 C.发散则一定无界D.无界则一定发散
[ 多选题 ] 关于数列收敛与有界的关系 下列说法正确的是（）。
A.收敛则一定有界
B.有界则一定收敛
C.发散则一定无界
D.无界则一定发散
题目解答
答案
A项，收敛数列是一定有界的，否则会有一个子列发散到无穷，就是无界了，矛盾。A正确。
B项，例如数列
，这个数列是有界的，但这个数列是发散的，它不收敛。B错误。
C项，还是数列，他是发散的，但他是有界的，C错误。
D项，无界数列一定是发散的，这是因为，无界数列一定可以找到一个子列，他发散，即极限是无穷，也就是发散的，D正确。
因此，本题答案是AD。
解析
步骤 1：分析选项A
收敛数列的定义是数列的极限存在，即数列中的项可以无限接近某个确定的值。根据收敛数列的性质，收敛数列一定是有界的，因为如果数列无界，那么数列中的项会无限远离某个确定的值，这与收敛的定义相矛盾。因此，选项A正确。
步骤 2：分析选项B
有界数列的定义是数列中的项都落在某个有限区间内。但是，有界数列不一定收敛。例如，数列${(-1)}^{n}$是有界的，因为它的项都在-1和1之间，但是这个数列是发散的，因为它没有一个确定的极限值。因此，选项B错误。
步骤 3：分析选项C
发散数列的定义是数列的极限不存在。但是，发散数列不一定无界。例如，数列${(-1)}^{n}$是发散的，但是它是有界的，因为它的项都在-1和1之间。因此，选项C错误。
步骤 4：分析选项D
无界数列的定义是数列中的项可以无限远离某个确定的值。根据无界数列的性质，无界数列一定是发散的，因为如果数列收敛，那么数列中的项会无限接近某个确定的值，这与无界的定义相矛盾。因此，选项D正确。
收敛数列的定义是数列的极限存在，即数列中的项可以无限接近某个确定的值。根据收敛数列的性质，收敛数列一定是有界的，因为如果数列无界，那么数列中的项会无限远离某个确定的值，这与收敛的定义相矛盾。因此，选项A正确。
步骤 2：分析选项B
有界数列的定义是数列中的项都落在某个有限区间内。但是，有界数列不一定收敛。例如，数列${(-1)}^{n}$是有界的，因为它的项都在-1和1之间，但是这个数列是发散的，因为它没有一个确定的极限值。因此，选项B错误。
步骤 3：分析选项C
发散数列的定义是数列的极限不存在。但是，发散数列不一定无界。例如，数列${(-1)}^{n}$是发散的，但是它是有界的，因为它的项都在-1和1之间。因此，选项C错误。
步骤 4：分析选项D
无界数列的定义是数列中的项可以无限远离某个确定的值。根据无界数列的性质，无界数列一定是发散的，因为如果数列收敛，那么数列中的项会无限接近某个确定的值，这与无界的定义相矛盾。因此，选项D正确。