排列 13 ... (2n-3)(2n-1)(2n)(2n-2)... 42A. n 为奇数时为奇排列，n 为偶数时为偶排列B. 是偶排列C. 是奇排列D. n 为奇数时为偶排列，n 为偶数时为奇排列

本题考查排列的奇偶性判断，解题思路是通过计算排列的逆序数来确定排列的奇偶性。逆序数为偶数的排列是偶排列，逆序数为奇数的排列是奇排列。下面我们来详细计算给定排列的逆序数。

给定排列为$13 \cdots (2n - 3)(2n - 1)(2n)(2n - 2)\cdots 42$，我们将其逆序数$\tau$分为两部分来计算：

1. 计算前半部分$13 \cdots (2n - 3)(2n - 1)$的逆序数：

   • 数字$1$后面比$1$小的数的个数为$0$个。
   • 数字$3$后面比$3$小的数的个数为$1$个（即$1$）。
   • 数字$5$后面比$5$小的数的个数为$2$个（即$1,3$）。
   • $\cdots$
   • 数字$2n - 1$后面比$2n - 1$小的数的个数为$n - 1$个（即$1,3,\cdots,2n - 3$）。
   • 所以前半部分的逆序数为$0 + 1 + 2 + \cdots + (n - 1)$。
   • 根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$（其中$n$为项数，$a_1$为首项，$a_n$为末项），这里$n=n$，$a_1 = 0$，$a_n = n - 1$，可得前半部分逆序数为$\frac{(n - 1)n}{2}$。

2. 计算后半部分$(2n)(2n - 2)\cdots 42$的逆序数：

   • 数字$2n$后面比$2n$小的数的个数为$n - 1$个（即$2n - 2,\cdots,4,2$）。
   • 数字$2n - 2$后面比$2n - 2$小的数的个数为$n - 2$个（即$2n - 4,\cdots,4,2$）。
   • $\cdots$
   • 数字$4$后面比$4$小的数的个数为$1$个（即$2$）。
   • 数字$2$后面比$2$小的数的个数为$0$个。
   • 所以后半部分的逆序数为$(n - 1)+(n - 2)+\cdots + 1+0$。
   • 同样根据等差数列求和公式，这里$n=n$，$a_1 = 0$，$a_n = n - 1$，可得后半部分逆序数为$\frac{(n - 1)n}{2}$。

3. 计算整个排列的逆序数$\tau$：
   整个排列的逆序数$\tau$等于前半部分逆序数与后半部分逆序数之和，即$\tau=\frac{(n - 1)n}{2}+\frac{(n - 1)n}{2}=(n - 1)n$。

接下来分情况讨论$\tau=(n - 1)n$的奇偶性：

• 当$n$为奇数时，$n - 1$为偶数，那么$(n - 1)n$为偶数，此时排列为偶排列。
• 当$n$为偶数时，$n - 1$为奇数，那么$(n - 1)n$为偶数，此时排列为奇排列。