题目

题（共5题，30.0分）4、若随机变量X-N(0,1)，则X²服从自由度为____的χ²分布

题（共5题，30.0分） 4、若随机变量X-N(0,1)，则X²服从自由度为____的χ²分布

题目解答

答案

根据 $\chi^2$ 分布的定义，自由度为 $k$ 的 $\chi^2$ 分布是 $k$ 个独立标准正态变量平方和的分布。当 $k=1$ 时，即为单个标准正态变量的平方。已知 $X \sim N(0,1)$，则 $X^2$ 服从自由度为 1 的 $\chi^2$ 分布。答案：$\boxed{1}$

解析

本题考查的知识点是 $\chi^2$ 分布的定义。解题思路是依据 $\chi^2$ 分布的定义，判断随机变量 $X^2$ 服从的 $\chi^2$ 分布的自由度。

首先明确 $\chi^2$ 分布的定义：自由度为 $k$ 的 $\chi^2$ 分布是 $k$ 个独立标准正态变量平方和的分布。用数学语言表示，如果有 $k$ 个相互独立的随机变量 $Z_1,Z_2,\cdots,Z_k$，且 $Z_i\sim N(0,1)$，$i = 1,2,\cdots,k$，那么随机变量 $\chi^2=Z_1^2 + Z_2^2+\cdots+Z_k^2$ 服从自由度为 $k$ 的 $\chi^2$ 分布，记为 $\chi^2\sim\chi^2(k)$。
然后看本题中的随机变量 $X$，已知 $X\sim N(0,1)$，这里只有一个标准正态变量 $X$，相当于上述定义中 $k = 1$ 的情况，即 $X^2$ 是单个标准正态变量的平方。
所以根据 $\chi^2$ 分布的定义，$X^2$ 服从自由度为 1 的 $\chi^2$ 分布。