设总体的密度函数为，其中是未知函数，且，则的矩估计量为。

步骤 1：计算总体的期望值
给定总体的密度函数为$f(x)=\left \{ \begin{matrix} \theta {x}^{\theta -1},\quad 0\lt x\lt 1\\ 0,\quad 0ther\end{matrix} \right.$，其中$\theta \gt 0$。首先，我们需要计算总体的期望值$E(X)$。根据期望的定义，我们有：
$$E(X)=\int_{0}^{1}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\theta x^{\theta-1}dx=\theta\int_{0}^{1}x^{\theta}dx$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，我们得到：
$$E(X)=\theta\int_{0}^{1}x^{\theta}dx=\theta\left[\frac{x^{\theta+1}}{\theta+1}\right]_{0}^{1}=\frac{\theta}{\theta+1}$$
步骤 3：矩估计量
矩估计量是通过将样本矩与总体矩相等来估计参数。这里，我们用样本均值$\overline{X}$来估计总体期望$E(X)$。因此，我们有：
$$\overline{X}=\frac{\theta}{\theta+1}$$
解这个方程，得到$\theta$的估计量$\hat{\theta}$：
$$\hat{\theta}=\frac{\overline{X}}{1-\overline{X}}$$