例7.1.6 设总体X服从泊松分布 P(λ),其中λ是未知参数,若X1,X2,···,xn是来自总-|||-体X的样本,试求参数λ的极大似然估计量.

本题考查极大似然估计法的应用，解题思路是先根据总体的概率分布写出似然函数，再对似然函数取对数得到对数似然函数，然后通过求对数似然函数的导数并令其为零，解出参数的极大似然估计值，最后将样本值替换为样本，得到极大似然估计量。

1. 写出似然函数：
   已知总体$X$服从泊松分布$P(\lambda)$，其概率质量函数为$P(X = x; \lambda)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$，$x = 0, 1, 2, \cdots$。
   设$x_1, x_2, \cdots, x_n$是样本$X_1, X_2, \cdots, X_n$的一组观察值，由于样本中的各个样本点相互独立，所以似然函数$L(\lambda)$为各个样本点概率的乘积，即：
   $L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}P(X_i = x_i; \lambda)=\prod_{i = 1}^{n}\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x_i}}{x_i!}$
   根据指数运算法则$a^m\times a^n=a^{m + n}$和$(ab)^n=a^n\times b^n$，对上式进行化简：
   $L(\lambda)=\frac{e^{-n\lambda}\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}x_i}}{\prod_{i = 1}^{n}x_i!}$
2. 取对数得到对数似然函数：
   为了方便计算，对似然函数$L(\lambda)$取自然对数，得到对数似然函数$l(\lambda)$：
   $l(\lambda)=\ln L(\lambda)=\ln\left(\frac{e^{-n\lambda}\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}x_i}}{\prod_{i = 1}^{n}x_i!}\right)$
   根据对数运算法则$\ln\frac{a}{b}=\ln a - \ln b$，$\ln(ab)=\ln a + \ln b$和$\ln a^b = b\ln a$，进一步化简：
   $l(\lambda)=\ln e^{-n\lambda}+\ln\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}x_i}-\ln\prod_{i = 1}^{n}x_i!=-n\lambda+\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\right)\ln\lambda-\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i!$
3. 求对数似然函数的导数并令其为零：
   对$l(\lambda)$关于$\lambda$求导：
   $\frac{dl(\lambda)}{d\lambda}=\frac{d}{d\lambda}\left(-n\lambda+\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\right)\ln\lambda-\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i!\right)$
   根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$和$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得：
   $\frac{dl(\lambda)}{d\lambda}=-n+\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}x_i$
   令$\frac{dl(\lambda)}{d\lambda}=0$，即：
   $-n+\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}x_i = 0$
4. 解出参数的极大似然估计值：
   解方程$-n+\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}x_i = 0$：
   $\frac{1}{\lambda}\sum_{i = 1}^{n}x_i = n$
   $\lambda=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i=\overline{x}$
   所以参数$\lambda$的极大似然估计值为$\overline{x}$。
5. 得到极大似然估计量：
   将样本值$x_i$替换为样本$X_i$，得到参数$\lambda$的极大似然估计量为：
   $\hat{\lambda}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i=\overline{X}$