在1500件产品中有400件次品、1100件正品，任取200件。(1) 求恰有90件次品的概率。(2) 求至少有2件次品的概率。

我们来逐步分析并解答这个题目。

题目已知条件：

• 总产品数：1500 件
• 次品数：400 件
• 正品数：1100 件
• 从中任取 200 件（不放回抽样）

这是一个超几何分布（Hypergeometric Distribution）的问题，因为是从有限总体中不放回地抽取样本。

(1) 求恰有 90 件次品的概率

我们要计算：从 200 件中恰好有 90 件次品的概率。

超几何分布公式：

从 $ N $ 个产品中，有 $ D $ 个次品，抽取 $ n $ 个样本，其中恰好有 $ k $ 个次品的概率为：

$P(X = k) = \frac{\binom{D}{k} \binom{N - D}{n - k}}{\binom{N}{n}}$

代入本题数据：

• $ N = 1500 $（总数）
• $ D = 400 $（次品数）
• $ N - D = 1100 $（正品数）
• $ n = 200 $（抽取数）
• $ k = 90 $（要求的次品数）

所以：

$P(X = 90) = \frac{\binom{400}{90} \binom{1100}{110}}{\binom{1500}{200}}$

> 注：因为 $ 200 - 90 = 110 $，所以正品有 110 件。

这个概率如何计算？

由于数字非常大（组合数极大），无法手工计算，通常需要用计算机或近似方法。

但我们仍可以表达出精确公式，并说明其计算方式。

是否可以使用近似？

由于总体较大（1500），样本也较大（200），但抽样比例为 $ \frac{200}{1500} \approx 13.3\% $，不算特别小，所以不完全满足二项分布近似条件（通常要求抽样比例小，且总体大时用二项近似）。

但我们可以考虑用正态近似或泊松近似，但最合适的还是超几何分布的精确表达式，或使用软件计算。

但题目要求“求概率”，我们应给出表达式，并说明是否可计算。

结论（1）：

恰有 90 件次品的概率为：

$\boxed{P(X = 90) = \frac{\binom{400}{90} \binom{1100}{110}}{\binom{1500}{200}}}$

这个值非常小，但可以使用统计软件（如 R、Python）进行数值计算。

例如，在 R 中可用：

dhyper(90, 400, 1100, 200)

但手工无法精确计算，因此我们保留组合数表达式作为答案。

(2) 求至少有 2 件次品的概率

即：

$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$

我们分别计算 $ P(X = 0) $ 和 $ P(X = 1) $，然后用 1 减去。

计算 $ P(X = 0) $：

表示 200 件全是正品。

$P(X = 0) = \frac{\binom{400}{0} \binom{1100}{200}}{\binom{1500}{200}} = \frac{1 \cdot \binom{1100}{200}}{\binom{1500}{200}}$

计算 $ P(X = 1) $：

表示有 1 件次品，199 件正品。

$P(X = 1) = \frac{\binom{400}{1} \binom{1100}{199}}{\binom{1500}{200}} = \frac{400 \cdot \binom{1100}{199}}{\binom{1500}{200}}$

所以：

$P(X \geq 2) = 1 - \frac{\binom{1100}{200} + 400 \cdot \binom{1100}{199}}{\binom{1500}{200}}$

这个概率有多大？

我们可以通过直觉判断：

• 次品率：$ \frac{400}{1500} \approx 26.67\% $
• 抽取 200 件，期望次品数为：$ 200 \times \frac{400}{1500} = \frac{80000}{1500} \approx 53.33 $ 件

所以平均有约 53 件次品。

因此，没有次品或只有 1 件次品的概率极小。

所以 $ P(X \geq 2) $ 非常接近 1。

但我们仍要给出精确表达式。

最终答案：

(1) 恰有 90 件次品的概率为：

$\boxed{P = \frac{\binom{400}{90} \binom{1100}{110}}{\binom{1500}{200}}}$

(2) 至少有 2 件次品的概率为：

$\boxed{P = 1 - \frac{\binom{1100}{200} + 400 \cdot \binom{1100}{199}}{\binom{1500}{200}}}$

补充说明：

• 这两个概率的组合数极大，实际计算需借助计算机。
• 但从实际意义看，(2) 的概率非常接近 1，因为期望次品数为 53.33，几乎不可能只抽到 0 或 1 件次品。
• (1) 中 90 件次品高于期望值（53.33），属于较远的尾部，概率也很小，但比 $ P(X=0) $ 或 $ P(X=1) $ 大得多。

✅ 总结：

题目是典型的超几何分布问题，由于不放回抽样，不能使用二项分布。

最终答案以组合数形式表达是标准做法，除非题目要求近似数值。