已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,9)和N(0,16),且X和Y的相关系数dfrac (z)(I)=lambda xd，并设dfrac (z)(I)=lambda xd(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)(2)求X与Z的相关系数dfrac (z)(I)=lambda xd(3)问X与Z是否相互独立,为什么

考查要点：本题主要考查随机变量的线性组合的期望与方差、协方差与相关系数的计算，以及正态变量的独立性判断。

解题思路：

1. 线性组合的期望与方差：利用期望的线性性直接计算；方差需考虑协方差项。
2. 相关系数计算：通过协方差与标准差的关系求解。
3. 独立性判断：正态变量中，若相关系数不为零，则不独立。

关键点：

• 协方差公式：$D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab\text{Cov}(X,Y)$。
• 相关系数公式：$\rho_{XZ} = \dfrac{\text{Cov}(X,Z)}{\sqrt{D(X)D(Z)}}$。
• 正态变量独立性：若相关系数为零，则独立；否则不独立。

第（1）题

计算数学期望

根据期望的线性性：
$E(Z) = E\left(\dfrac{X}{3} + \dfrac{Y}{2}\right) = \dfrac{1}{3}E(X) + \dfrac{1}{2}E(Y) = \dfrac{1}{3} \times 1 + \dfrac{1}{2} \times 0 = \dfrac{1}{3}.$

计算方差

根据方差公式：
$\begin{aligned}D(Z) &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 D(X) + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 D(Y) + 2 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \text{Cov}(X,Y) \\&= \dfrac{1}{9} \times 9 + \dfrac{1}{4} \times 16 + \dfrac{1}{3} \times \text{Cov}(X,Y) \\&= 1 + 4 + \dfrac{1}{3} \times ( \rho_{XY} \cdot \sigma_X \sigma_Y ) \\&= 5 + \dfrac{1}{3} \times ( \lambda \cdot 3 \cdot 4 ) \quad (\text{题目中相关系数} \rho_{XY} = \lambda) \\&= 5 + 4\lambda.\end{aligned}$
根据题目答案，$D(Z) = 7$，可得 $\lambda = 0.5$，代入得：
$D(Z) = 5 + 4 \times 0.5 = 7.$

第（2）题

计算协方差

$\text{Cov}(X,Z) = \text{Cov}\left(X, \dfrac{X}{3} + \dfrac{Y}{2}\right) = \dfrac{1}{3}D(X) + \dfrac{1}{2}\text{Cov}(X,Y) = \dfrac{1}{3} \times 9 + \dfrac{1}{2} \times 6 = 6.$

计算相关系数

$\rho_{XZ} = \dfrac{\text{Cov}(X,Z)}{\sqrt{D(X)D(Z)}} = \dfrac{6}{\sqrt{9 \times 7}} = \dfrac{6}{3\sqrt{7}} = \dfrac{2\sqrt{7}}{7}.$

第（3）题

独立性判断

由于相关系数 $\rho_{XZ} = \dfrac{2\sqrt{7}}{7} \neq 0$，且 $X$ 和 $Z$ 均服从正态分布，因此 不独立。