题目

19.讨论函数f(z)=xy^2+ix^2y的可导性与解析性.

19.讨论函数$f(z)=xy^{2}+ix^{2}y$的可导性与解析性.

题目解答

答案

将函数 $ f(z) = xy^2 + ix^2y $ 分解为实部 $ u(x, y) = xy^2 $ 和虚部 $ v(x, y) = x^2y $。计算偏导数： \[ u_x = y^2, \quad u_y = 2xy, \quad v_x = 2xy, \quad v_y = x^2 \] 应用柯西-黎曼方程： 1. $ u_x = v_y $ 即 $ y^2 = x^2 $，解得 $ y = x $ 或 $ y = -x $。 2. $ u_y = -v_x $ 即 $ 2xy = -2xy $，解得 $ xy = 0 $，即 $ x = 0 $ 或 $ y = 0 $。 两条件交集仅在原点 $ (0,0) $ 满足，故函数仅在 $ z = 0 $ 处可导。由于可导区域不包含任何开集，函数在任何点均不解析。 **答案：** 函数 $ f(z) $ 在 $ z = 0 $ 处可导，但在任何点都不解析。 $\boxed{f(z) \text{ 在 } z = 0 \text{ 处可导，但在任何点都不解析。}}$

解析

考查要点：本题主要考查复变函数的可导性和解析性的判定，核心在于应用柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations）判断函数在复平面上的可导性，并进一步分析其解析性。

解题思路：

  1. 分解实部与虚部：将函数$f(z)=xy^2 + ix^2y$分解为实部$u(x,y)=xy^2$和虚部$v(x,y)=x^2y$。
  2. 计算偏导数：分别求出$u$和$v$对$x$和$y$的偏导数。
  3. 应用柯西-黎曼方程：联立$u_x = v_y$和$u_y = -v_x$，解方程组确定满足条件的点。
  4. 判断可导性与解析性：若仅在孤立点满足柯西-黎曼方程，则函数仅在该点可导；若可导区域不包含任何开集，则函数在任何点都不解析。

破题关键：通过联立柯西-黎曼方程，找到同时满足的点，并分析解的分布是否构成开集。

分解实部与虚部

将函数分解为：

  • 实部：$u(x,y) = xy^2$
  • 虚部：$v(x,y) = x^2y$

计算偏导数

  1. 实部偏导数：
    • $u_x = \frac{\partial}{\partial x}(xy^2) = y^2$
    • $u_y = \frac{\partial}{\partial y}(xy^2) = 2xy$
  2. 虚部偏导数：
    • $v_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) = 2xy$
    • $v_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) = x^2$

应用柯西-黎曼方程

柯西-黎曼方程要求：

  1. 第一式：$u_x = v_y$
    代入偏导数得：
    $y^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad y = x \text{ 或 } y = -x$
  2. 第二式：$u_y = -v_x$
    代入偏导数得：
    $2xy = -2xy \quad \Rightarrow \quad 4xy = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ 或 } y = 0$

联立方程求交集

  • 第一式解集：直线$y = x$和$y = -x$。
  • 第二式解集：坐标轴$x = 0$或$y = 0$。
  • 共同解：仅在原点$(0,0)$处同时满足两式。

可导性与解析性分析

  • 可导性：柯西-黎曼方程仅在原点$(0,0)$处成立，且偏导数在该点存在，故$f(z)$在$z=0$处可导。
  • 解析性：解析要求函数在某邻域内处处可导，但原点是孤立解，无法构成包含开集的区域，因此$f(z)$在任何点都不解析。