题目
例6 已知某台机器生产的螺栓长度X (单位:厘米)服从参数 mu =10.05 σ=-|||-0.06的正态分布.规定螺栓长度在 .05pm 0.12 内为合格品,试求螺栓为合格品的-|||-概率, __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定螺栓长度的合格范围
螺栓长度在 $10.05\pm 0.12$ 内为合格品，即合格范围为 $[10.05-0.12, 10.05+0.12]$，即 $[9.93, 10.17]$。
步骤 2：计算合格范围对应的正态分布概率
螺栓长度 $X$ 服从参数 $\mu = 10.05$ 和 $\sigma = 0.06$ 的正态分布。要计算螺栓长度在 $[9.93, 10.17]$ 内的概率，需要计算 $P(9.93 \leq X \leq 10.17)$。
首先，将 $X$ 的值标准化为标准正态分布 $Z$ 的值，即 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
对于 $X = 9.93$，$Z = \frac{9.93 - 10.05}{0.06} = -2$。
对于 $X = 10.17$，$Z = \frac{10.17 - 10.05}{0.06} = 2$。
因此，$P(9.93 \leq X \leq 10.17) = P(-2 \leq Z \leq 2)$。
步骤 3：利用标准正态分布表计算概率
$P(-2 \leq Z \leq 2) = \Phi(2) - \Phi(-2)$，其中 $\Phi(z)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
根据标准正态分布表，$\Phi(2) = 0.9772$，$\Phi(-2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$。
因此，$P(-2 \leq Z \leq 2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544$。
螺栓长度在 $10.05\pm 0.12$ 内为合格品，即合格范围为 $[10.05-0.12, 10.05+0.12]$，即 $[9.93, 10.17]$。
步骤 2：计算合格范围对应的正态分布概率
螺栓长度 $X$ 服从参数 $\mu = 10.05$ 和 $\sigma = 0.06$ 的正态分布。要计算螺栓长度在 $[9.93, 10.17]$ 内的概率，需要计算 $P(9.93 \leq X \leq 10.17)$。
首先，将 $X$ 的值标准化为标准正态分布 $Z$ 的值，即 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
对于 $X = 9.93$，$Z = \frac{9.93 - 10.05}{0.06} = -2$。
对于 $X = 10.17$，$Z = \frac{10.17 - 10.05}{0.06} = 2$。
因此，$P(9.93 \leq X \leq 10.17) = P(-2 \leq Z \leq 2)$。
步骤 3：利用标准正态分布表计算概率
$P(-2 \leq Z \leq 2) = \Phi(2) - \Phi(-2)$，其中 $\Phi(z)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
根据标准正态分布表，$\Phi(2) = 0.9772$，$\Phi(-2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$。
因此，$P(-2 \leq Z \leq 2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544$。