4.设 D(X)=25 D(Y)=36 (rho )_(xy)=0.4 ,则 D(2X-Y)=

考查要点：本题主要考查随机变量线性组合的方差计算，涉及协方差与相关系数的关系。

解题核心思路：

1. 方差公式展开：利用公式 $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab\text{Cov}(X,Y)$，将 $D(2X - Y)$ 展开。
2. 协方差与相关系数的关系：通过 $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}$ 计算 $\text{Cov}(X,Y)$。
3. 代入数值计算：将已知方差和相关系数代入公式，逐步求解。

破题关键点：

• 正确展开方差公式，注意系数 $a=2$ 和 $b=-1$ 对协方差项的影响。
• 准确计算协方差，需结合相关系数与标准差的关系。

步骤1：展开方差公式
根据方差性质，$D(2X - Y)$ 展开为：
$D(2X - Y) = 2^2D(X) + (-1)^2D(Y) + 2 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot \text{Cov}(X,Y)$
即：
$D(2X - Y) = 4D(X) + D(Y) - 4\text{Cov}(X,Y)$

步骤2：计算协方差 $\text{Cov}(X,Y)$
已知相关系数 $\rho_{XY} = 0.4$，且 $\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}$，代入数据：
$\text{Cov}(X,Y) = 0.4 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{36} = 0.4 \cdot 5 \cdot 6 = 12$

步骤3：代入数值计算
将 $D(X)=25$，$D(Y)=36$，$\text{Cov}(X,Y)=12$ 代入方差公式：
$\begin{aligned}D(2X - Y) &= 4 \cdot 25 + 36 - 4 \cdot 12 \\&= 100 + 36 - 48 \\&= 88\end{aligned}$