题目
一工厂生产的某种元件的寿命X(以小时计)服从参数为 mu =160,-|||-(agt 0) 的正态分布.若要求 120lt Xleqslant 200 geqslant 0.80, 允许σ最大为多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：标准化正态分布
给定 $X \sim N(160, \sigma^2)$，我们需要将 $X$ 标准化为标准正态分布 $Z$，其中 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。这里 $\mu = 160$，所以 $Z = \frac{X - 160}{\sigma}$。
步骤 2：计算概率
根据题目要求，$P\{120 < X \leq 200\} \geq 0.80$。将 $X$ 的值代入标准化公式，得到 $P\{\frac{120 - 160}{\sigma} < Z \leq \frac{200 - 160}{\sigma}\} \geq 0.80$，即 $P\{-\frac{40}{\sigma} < Z \leq \frac{40}{\sigma}\} \geq 0.80$。
步骤 3：查找标准正态分布表
根据标准正态分布表，$P\{-1.282 < Z \leq 1.282\} = 0.80$。因此，我们需要 $\frac{40}{\sigma} \geq 1.282$，从而得到 $\sigma \leq \frac{40}{1.282}$。
给定 $X \sim N(160, \sigma^2)$，我们需要将 $X$ 标准化为标准正态分布 $Z$，其中 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。这里 $\mu = 160$，所以 $Z = \frac{X - 160}{\sigma}$。
步骤 2：计算概率
根据题目要求，$P\{120 < X \leq 200\} \geq 0.80$。将 $X$ 的值代入标准化公式，得到 $P\{\frac{120 - 160}{\sigma} < Z \leq \frac{200 - 160}{\sigma}\} \geq 0.80$，即 $P\{-\frac{40}{\sigma} < Z \leq \frac{40}{\sigma}\} \geq 0.80$。
步骤 3：查找标准正态分布表
根据标准正态分布表，$P\{-1.282 < Z \leq 1.282\} = 0.80$。因此，我们需要 $\frac{40}{\sigma} \geq 1.282$，从而得到 $\sigma \leq \frac{40}{1.282}$。